Numerische Strömungsmechanik (CFD) verwendet numerische Methoden zur Analyse und Lösung von Strömungsproblemen. Wichtig in Thermodynamik und Verfahrenstechnik für Simulationen und Optimierungen.
Grundlagen der numerischen Strömungsmechanik
Die numerische Strömungsmechanik, auch Computational Fluid Dynamics (CFD) genannt, ist ein Teilgebiet der Strömungsmechanik, das numerische Methoden und Algorithmen verwendet, um fluiddynamische Probleme zu lösen und zu analysieren. Diese Disziplin ist besonders wichtig in der Thermodynamik und in der Thermischen Verfahrenstechnik, da sie es ermöglicht, komplexe Strömungsverläufe und Wärmetransporte in verschiedenen Systemen zu simulieren und zu optimieren.
Grundlagen und Prinzipien
Die numerische Strömungsmechanik basiert auf der Lösung der fundamentalen Gleichungen, die die Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen beschreiben. Diese Gleichungen umfassen:
Navier-Stokes-Gleichungen
Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen unter dem Einfluss von inneren und äußeren Kräften. Sie bestehen aus einer Gruppe von nichtlinearen partiellen Differenzialgleichungen:
Impulsgleichung (vereinfachte Form):
\(\frac { \partial \mathbf{u} }{ \partial t } + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}\)
Hierbei steht \(\mathbf{u}\) für die Geschwindigkeit des Fluids, \(t\) für die Zeit, \(\rho\) für die Dichte, \(p\) für den Druck und \(\nu\) für die kinematische Viskosität.
Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung stellt sicher, dass die Masse des Fluids erhalten bleibt. Sie wird in der Form geschrieben:
\(\frac{ \partial \rho }{ \partial t } + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0\)
Energiegleichung
Die Energiegleichung beschreibt den Energieaustausch in einem strömenden Fluid und kann in vielen Formen auftreten. Eine häufig verwendete Form ist:
\(\frac{ \partial (\rho E) }{ \partial t } + \nabla \cdot (\rho E \mathbf{u}) = -\nabla \cdot \mathbf{q} + S\)
Hier steht \(E\) für die gesamte spezifische Energie, \(\mathbf{q}\) für den Wärmefluss und \(S\) für die Quelle oder Senke der Energie innerhalb des Fluids.
Diskretisierungsmethoden
Um diese Gleichungen numerisch zu lösen, müssen sie diskretisiert werden, d.h., sie werden in ein System von algebraischen Gleichungen umgewandelt. Zu den gängigsten Diskretisierungsmethoden gehören:
Finite-Differenzen-Verfahren (FDM)
Das Finite-Differenzen-Verfahren approximiert die Ableitungen in den partiellen Differenzialgleichungen durch Differenzenquotienten. Dies ist oft die einfachste und direkteste Methode.
Finite-Volumen-Verfahren (FVM)
Beim Finite-Volumen-Verfahren wird der Rechenbereich in kleine Volumenelemente unterteilt. Die Flüsse durch die Grenzen der Volumenelemente werden berechnet, wodurch Massen-, Impuls- und Energieerhaltung sichergestellt wird. Diese Methode ist besonders nützlich für konservative Systeme.
Finite-Elemente-Verfahren (FEM)
Das Finite-Elemente-Verfahren teilt den Rechenbereich in kleine, typischerweise unregelmäßig geformte Elemente ein. Innerhalb dieser Elemente werden die Felder durch einfache Funktionen, wie beispielsweise Polynomiale, genähert. Dieses Verfahren ist besonders flexibel und kann auch auf sehr komplexe Geometrien angewendet werden.
Anwendungen der numerischen Strömungsmechanik
Die numerische Strömungsmechanik findet in vielen Bereichen Anwendung, darunter:
Zusammenfassung
Die numerische Strömungsmechanik ist ein mächtiges Werkzeug zur Lösung von Strömungs- und Wärmetransportproblemen. Durch die Anwendung von Diskretisierungsmethoden und numerischen Algorithmen können komplexe Systeme modelliert und optimiert werden, was zu bedeutenden Fortschritten in vielen technischen und wissenschaftlichen Bereichen führt.
