{"id":42702,"date":"2019-10-06T00:01:47","date_gmt":"2019-10-05T23:01:47","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/was-ist-neumann-randbedingung-typ-ii-randbedingung-definition\/"},"modified":"2020-03-05T10:09:32","modified_gmt":"2020-03-05T09:09:32","slug":"was-ist-neumann-randbedingung-typ-ii-randbedingung-definition","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-neumann-randbedingung-typ-ii-randbedingung-definition\/","title":{"rendered":"Was ist Neumann-Randbedingung – Typ II-Randbedingung – Definition"},"content":{"rendered":"
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In der Mathematik ist die Neumann-Randbedingung eine Art Randbedingung, benannt nach einem deutschen Mathematiker Carl Neumann (1832\u20131925).\u00a0W\u00e4rmetechnik<\/div>\n<\/div>\n
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Neumann-Randbedingung – Typ II-Randbedingung<\/h2>\n

\"Neumann-Randbedingung<\/a>In der Mathematik ist die\u00a0Neumann-Randbedingung<\/strong>\u00a0eine Randbedingung, die nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann (1832\u20131925) benannt wurde.\u00a0Wenn es einer gew\u00f6hnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, gibt es die Werte an, die eine L\u00f6sung entlang der Dom\u00e4nengrenze annehmen muss.<\/p>\n

Bei W\u00e4rme\u00fcbertragungsproblemen\u00a0entspricht\u00a0die\u00a0Neumann-Bedingung<\/strong>\u00a0einer\u00a0vorgegebenen Temperatur\u00e4nderungsrate<\/strong>\u00a0.\u00a0Mit anderen Worten, dieser Zustand setzt voraus, dass der\u00a0W\u00e4rmefluss<\/strong><\/a>\u00a0an der Oberfl\u00e4che des Materials bekannt ist.\u00a0Der W\u00e4rmefluss in positiver x-Richtung an einer beliebigen Stelle im Medium, einschlie\u00dflich der Grenzen, kann durch das\u00a0Fourier-Gesetz der W\u00e4rmeleitung<\/a>\u00a0ausgedr\u00fcckt werden\u00a0.<\/p>\n

Sonderfall – Adiabatische Grenze – Perfekt isolierte Grenze<\/strong><\/p>\n

Ein Sonderfall dieser Bedingung entspricht der perfekt isolierten Oberfl\u00e4che, f\u00fcr die (\u2202T \/ \u2202x = 0).\u00a0Die W\u00e4rme\u00fcbertragung durch eine ordnungsgem\u00e4\u00df isolierte Oberfl\u00e4che kann als Null angenommen werden, da eine angemessene Isolierung die W\u00e4rme\u00fcbertragung durch eine Oberfl\u00e4che auf ein vernachl\u00e4ssigbares Ma\u00df reduziert.\u00a0Mathematisch kann diese Randbedingung ausgedr\u00fcckt werden als:<\/p>\n

\"Neumann-Randbedingung<\/a><\/p>\n

Sonderfall – Thermische Symmetrie<\/strong><\/p>\n

\"Neumann-Randbedingung<\/a>Ein weiterer sehr wichtiger Fall, der zur L\u00f6sung von W\u00e4rme\u00fcbertragungsproblemen mit Brennst\u00e4ben verwendet werden kann, ist die thermische Symmetrie.\u00a0Zum Beispiel werden die zwei Oberfl\u00e4chen einer gro\u00dfen Heizplatte der Dicke L, die vertikal an der Luft aufgeh\u00e4ngt ist, den gleichen thermischen Bedingungen ausgesetzt, und somit ist die Temperaturverteilung symmetrisch (dh in einer H\u00e4lfte der Platte ist das gleiche Temperaturprofil wie das in der anderen H\u00e4lfte).\u00a0Infolgedessen muss sich in der Mittellinie der Platte ein Maximum befinden, und die Mittellinie kann als isolierte Oberfl\u00e4che angesehen werden (\u2202T \/ \u2202x = 0).\u00a0Der W\u00e4rmezustand auf dieser Symmetrieebene kann ausgedr\u00fcckt werden als:<\/p>\n

\"Neumann-Randbedingung<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/h2>\n
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Die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0ist eine partielle Differentialgleichung, die die Verteilung der\u00a0<\/span>W\u00e4rme<\/span><\/strong>\u00a0(oder des\u00a0<\/span>Temperaturfeldes<\/span><\/strong>\u00a0) in einem bestimmten K\u00f6rper \u00fcber die Zeit beschreibt.\u00a0Detaillierte Kenntnisse des Temperaturfeldes sind f\u00fcr die W\u00e4rmeleitung durch Materialien sehr wichtig.\u00a0Sobald diese Temperaturverteilung bekannt ist, kann der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsfluss<\/span><\/strong>\u00a0an jedem Punkt im Material oder auf seiner Oberfl\u00e4che nach dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/a>\u00a0berechnet\u00a0werden<\/a>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Die W\u00e4rmegleichung\u00a0<\/span>leitet sich<\/span><\/strong>\u00a0aus dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>der Energieerhaltung ab<\/span><\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0Das Fourier-Gesetz besagt, dass die zeitliche\u00a0<\/span>W\u00e4rme\u00fcbertragungsrate<\/span><\/strong>\u00a0durch ein Material\u00a0<\/span>proportional zum<\/span><\/strong>\u00a0negativen\u00a0<\/span>Temperaturgradienten<\/span><\/strong>\u00a0und zu der Fl\u00e4che im rechten Winkel zu dem Gradienten ist, durch den die W\u00e4rme flie\u00dft.<\/span><\/p>\n

\"Fourier'sches<\/a><\/p>\n

Eine \u00c4nderung der inneren Energie pro Volumeneinheit im Material \u0394Q ist proportional zur \u00c4nderung der Temperatur \u0394u.\u00a0Das ist:<\/span><\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/span><\/strong>p<\/span><\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/span><\/strong><\/p>\n

Generelle Form<\/span><\/strong><\/p>\n

Unter Verwendung dieser beiden Gleichungen k\u00f6nnen wir die allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung ableiten:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n

Diese Gleichung wird auch als\u00a0<\/span>Fourier-Biot-Gleichung<\/span><\/strong>\u00a0bezeichnet und bietet das grundlegende Werkzeug f\u00fcr die W\u00e4rmeleitungsanalyse.\u00a0Aus seiner L\u00f6sung k\u00f6nnen wir das Temperaturfeld als Funktion der Zeit erhalten.<\/span><\/p>\n

In Worten hei\u00dft es in der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0:<\/span><\/p>\n

Zu jedem Zeitpunkt im Medium muss die Nettorate der Energie\u00fcbertragung durch Leitung in ein Volumeneinheit plus die Volumenrate der W\u00e4rmeenergieerzeugung gleich der \u00c4nderungsrate der im Volumen gespeicherten W\u00e4rmeenergie sein.<\/span><\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Dieser Artikel basiert auf der maschinellen \u00dcbersetzung des englischen Originalartikels. Weitere Informationen finden Sie im Artikel auf Englisch. Sie k\u00f6nnen uns helfen. Wenn Sie die \u00dcbersetzung korrigieren m\u00f6chten, senden Sie diese bitte an: translations@nuclear-power.com oder f\u00fcllen Sie das Online-\u00dcbersetzungsformular aus. Wir bedanken uns f\u00fcr Ihre Hilfe und werden die \u00dcbersetzung so schnell wie m\u00f6glich aktualisieren. Danke.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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