{"id":53424,"date":"2020-03-05T09:59:45","date_gmt":"2020-03-05T08:59:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/was-ist-warmegleichung-warmeleitungsgleichung-definition\/"},"modified":"2020-03-05T10:03:00","modified_gmt":"2020-03-05T09:03:00","slug":"was-ist-warmegleichung-warmeleitungsgleichung-definition","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-warmegleichung-warmeleitungsgleichung-definition\/","title":{"rendered":"Was ist W\u00e4rmegleichung – W\u00e4rmeleitungsgleichung – Definition"},"content":{"rendered":"
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Die W\u00e4rmeleitungsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die W\u00e4rmeverteilung (oder das Temperaturfeld) in einem bestimmten K\u00f6rper \u00fcber die Zeit beschreibt.\u00a0W\u00e4rmetechnik<\/div>\n<\/div>\n
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W\u00e4rmegleichung – W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/h2>\n

\"Kernbrennstoff<\/a>In fr\u00fcheren Abschnitten haben wir uns speziell mit eindimensionaler station\u00e4rer W\u00e4rme\u00fcbertragung befasst, die durch das\u00a0Fourier-Gesetz<\/a>\u00a0der W\u00e4rmeleitung\u00a0charakterisiert werden kann\u00a0.\u00a0Ihre Anwendbarkeit ist jedoch sehr begrenzt.\u00a0Dieses Gesetz geht von einer station\u00e4ren W\u00e4rme\u00fcbertragung durch einen planaren K\u00f6rper aus (beachte, dass das Fourier-Gesetz auch f\u00fcr zylindrische und sph\u00e4rische Koordinaten abgeleitet werden kann),\u00a0ohne W\u00e4rmequellen<\/strong>\u00a0.\u00a0Es ist einfach die Geschwindigkeitsgleichung in diesem W\u00e4rme\u00fcbertragungsmodus, bei der der Temperaturgradient bekannt ist.<\/p>\n

Ein Hauptproblem bei den meisten Leitungsanalysen besteht jedoch darin, das\u00a0Temperaturfeld<\/strong>\u00a0in einem Medium\u00a0zu bestimmen, das\u00a0sich aus den Bedingungen ergibt, die an seinen Grenzen herrschen.\u00a0In der Technik m\u00fcssen wir W\u00e4rme\u00fcbertragungsprobleme l\u00f6sen, die unterschiedliche Geometrien und Bedingungen betreffen, z. B. ein zylindrisches Kernbrennelement, an dem eine interne W\u00e4rmequelle oder die Wand eines kugelf\u00f6rmigen Containments beteiligt ist.\u00a0Diese Probleme sind komplexer als die planaren Analysen, die wir in den vorherigen Abschnitten durchgef\u00fchrt haben.\u00a0Daher werden diese Probleme Gegenstand dieses Abschnitts sein, in dem die\u00a0W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/strong>\u00a0eingef\u00fchrt und gel\u00f6st wird.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/h2>\n

Die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0ist eine partielle Differentialgleichung, die die Verteilung der\u00a0<\/span>W\u00e4rme<\/span><\/strong>\u00a0(oder des\u00a0<\/span>Temperaturfeldes<\/span><\/strong>\u00a0) in einem bestimmten K\u00f6rper \u00fcber die Zeit beschreibt.\u00a0Detaillierte Kenntnisse des Temperaturfeldes sind f\u00fcr die W\u00e4rmeleitung durch Materialien sehr wichtig.\u00a0Sobald diese Temperaturverteilung bekannt ist, kann der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsfluss<\/span><\/strong>\u00a0an jedem Punkt im Material oder auf seiner Oberfl\u00e4che nach dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/a>\u00a0berechnet\u00a0werden<\/a>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Die W\u00e4rmegleichung\u00a0<\/span>leitet sich<\/span><\/strong>\u00a0aus dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>der Energieerhaltung ab<\/span><\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0Das Fourier-Gesetz besagt, dass die zeitliche\u00a0<\/span>W\u00e4rme\u00fcbertragungsrate<\/span><\/strong>\u00a0durch ein Material\u00a0<\/span>proportional zum<\/span><\/strong>\u00a0negativen\u00a0<\/span>Temperaturgradienten<\/span><\/strong>\u00a0und zu der Fl\u00e4che im rechten Winkel zu dem Gradienten ist, durch den die W\u00e4rme flie\u00dft.<\/span><\/p>\n

\"Fourier'sches<\/a><\/p>\n

Eine \u00c4nderung der inneren Energie pro Volumeneinheit im Material \u0394Q ist proportional zur \u00c4nderung der Temperatur \u0394u.\u00a0Das ist:<\/span><\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/span><\/strong>p<\/span><\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/span><\/strong><\/p>\n

Generelle Form<\/span><\/strong><\/p>\n

Unter Verwendung dieser beiden Gleichungen k\u00f6nnen wir die allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung ableiten:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n

Diese Gleichung wird auch als\u00a0<\/span>Fourier-Biot-Gleichung<\/span><\/strong>\u00a0bezeichnet und bietet das grundlegende Werkzeug f\u00fcr die W\u00e4rmeleitungsanalyse.\u00a0Aus seiner L\u00f6sung k\u00f6nnen wir das Temperaturfeld als Funktion der Zeit erhalten.<\/span><\/p>\n

In Worten hei\u00dft es in der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0:<\/span><\/p>\n

Zu jedem Zeitpunkt im Medium muss die Nettorate der Energie\u00fcbertragung durch Leitung in ein Volumeneinheit plus die Volumenrate der W\u00e4rmeenergieerzeugung gleich der \u00c4nderungsrate der im Volumen gespeicherten W\u00e4rmeenergie sein.<\/span><\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Konstante W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/span><\/strong>Diese Gleichung kann weiter reduziert werden, wenn die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit konstant ist und die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit eingef\u00fchrt wird, \u03b1 = k \/ \u03c1c\u00a0<\/span>p<\/span><\/sub>\u00a0:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Konstante W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit und station\u00e4re W\u00e4rme\u00fcbertragung – Poissonsche Gleichung<\/span><\/strong>Zus\u00e4tzliche Vereinfachungen der allgemeinen Form der W\u00e4rmegleichung sind h\u00e4ufig m\u00f6glich.\u00a0Beispielsweise kann sich unter station\u00e4ren Bedingungen die Menge des Energiespeichers nicht \u00e4ndern (\u2202T \/ \u2202t = 0).<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n

Eindimensionale W\u00e4rmegleichung<\/span><\/strong><\/p>\n

Eine der schlagkr\u00e4ftigsten Annahmen ist, dass der Sonderfall der eindimensionalen W\u00e4rme\u00fcbertragung in x-Richtung.\u00a0In diesem Fall fallen die Ableitungen in Bezug auf y und z aus und die obigen Gleichungen reduzieren sich auf (kartesische Koordinaten):<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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W\u00e4rmeleitung in zylindrischen und sph\u00e4rischen Koordinaten<\/span><\/h2>\n

In der Technik gibt es viele Probleme, die mit kartesischen Koordinaten nicht gel\u00f6st werden k\u00f6nnen.\u00a0<\/span>Zylindrische<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>kugelf\u00f6rmige Systeme<\/span><\/strong>\u00a0sind in der thermischen und insbesondere in der Energietechnik sehr verbreitet.\u00a0Die W\u00e4rmegleichung kann auch in Zylinder- und Kugelkoordinaten ausgedr\u00fcckt werden.\u00a0Die\u00a0<\/span>allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0in\u00a0<\/span>Zylinderkoordinaten<\/span><\/strong>\u00a0kann aus einer Energiebilanz eines Volumenelements in Zylinderkoordinaten und unter Verwendung des\u00a0<\/span>Laplace-Operators \u0394 in zylindrischer und sph\u00e4rischer Form erhalten werden<\/span><\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Zylinderkoordinaten:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"W\u00e4rmegleichung<\/a><\/p>\n

Sph\u00e4rische Koordinaten:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"W\u00e4rmegleichung<\/a><\/p>\n

Um analytische L\u00f6sungen f\u00fcr diese Differentialgleichungen zu erhalten, m\u00fcssen die L\u00f6sungstechniken partieller Differentialgleichungen bekannt sein, was den Rahmen dieses Textes sprengt.\u00a0Andererseits gibt es viele Vereinfachungen und Annahmen, die auf diese Gleichungen angewendet werden k\u00f6nnen und zu sehr wichtigen Ergebnissen f\u00fchren.\u00a0Im n\u00e4chsten Abschnitt beschr\u00e4nken wir uns auf eindimensionale station\u00e4re F\u00e4lle mit konstanter W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit, da sie zu gew\u00f6hnlichen Differentialgleichungen f\u00fchren.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Rand- und Anfangsbedingungen<\/span><\/h2>\n

Wie bei einer\u00a0<\/span>anderen Differentialgleichung<\/span><\/strong>\u00a0ist die L\u00f6sung durch\u00a0<\/span>Rand-<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>Anfangsbedingungen gegeben<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0In Bezug auf die Randbedingungen gibt es mehrere gemeinsame M\u00f6glichkeiten, die einfach in mathematischer Form ausgedr\u00fcckt werden.<\/span><\/p>\n

Da die W\u00e4rmeleitungsgleichung zweiter Ordnung ist in den r\u00e4umlichen Koordinaten, um\u00a0ein W\u00e4rme\u00fcbertragungs Problem vollst\u00e4ndig zu beschreiben,\u00a0<\/span>zwei Randbedingungen<\/span><\/strong>\u00a0mu\u00df gegeben werden\u00a0<\/span>f\u00fcr jede Richtung<\/span><\/strong>\u00a0des Koordinatensystems ,\u00a0entlang derer die\u00a0W\u00e4rme\u00fcbertragung signifikant.\u00a0Daher m\u00fcssen wir vier Randbedingungen f\u00fcr zweidimensionale Probleme und sechs Randbedingungen f\u00fcr dreidimensionale Probleme angeben.<\/span><\/p>\n

Im folgenden Abschnitt werden vier Arten von Randbedingungen zusammengefasst, die bei der W\u00e4rme\u00fcbertragung h\u00e4ufig auftreten:<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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