{"id":53452,"date":"2020-03-05T12:40:08","date_gmt":"2020-03-05T11:40:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/was-ist-ein-beispiel-fur-eine-warmegleichung-problem-mit-der-losung-definition\/"},"modified":"2020-03-05T12:40:50","modified_gmt":"2020-03-05T11:40:50","slug":"was-ist-ein-beispiel-fur-eine-warmegleichung-problem-mit-der-losung-definition","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-ein-beispiel-fur-eine-warmegleichung-problem-mit-der-losung-definition\/","title":{"rendered":"Was ist ein Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung &#8211; Definition"},"content":{"rendered":"<div class=\"su-quote su-quote-style-default\">\n<div class=\"su-quote-inner su-clearfix\">Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung.\u00a0In diesem Artikel gibt es zwei Beispiele f\u00fcr die L\u00f6sung der W\u00e4rmegleichung.\u00a0Beide Beispiele sind mit L\u00f6sung.\u00a0W\u00e4rmetechnik<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"su-divider su-divider-style-dotted\"><\/div>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\">\n<div class=\"su-spacer\"><\/div>\n<h2>Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung<\/h2>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\">\n<div class=\"su-spacer\"><\/div>\n<h2>W\u00e4rmeleitung in einer gro\u00dfen ebenen Wand<\/h2>\n<p><strong>Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung<\/strong><\/p>\n<p>Man betrachte die ebene Wand mit der Dicke 2L, in der\u00a0pro Volumeneinheit eine\u00a0<strong>gleichm\u00e4\u00dfige und konstante W\u00e4rmeentwicklung auftritt<\/strong>\u00a0,\u00a0<strong>q\u00a0<sub>V<\/sub>\u00a0[W \/ m\u00a0<sup>3<\/sup>\u00a0]<\/strong>\u00a0.\u00a0Die Mittelebene wird als Ursprung f\u00fcr x genommen und die Platte erstreckt sich nach rechts bis + L und nach links bis &#8211; L.\u00a0F\u00fcr eine konstante\u00a0<a title=\"W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-warmeleitfahigkeit-definition-2\/\">W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/a>\u00a0k lautet die geeignete Form der W\u00e4rmegleichung:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-heat-generation-equation.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"size-medium wp-image-20229 aligncenter lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-heat-generation-equation-300x96.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - W\u00e4rmeerzeugung - Gleichung\" width=\"300\" height=\"96\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-heat-generation-equation-300x96.png\" \/><\/a><\/p>\n<p>Die allgemeine L\u00f6sung dieser Gleichung lautet:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-general-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20230 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-general-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitungsgleichung - allgemeine L\u00f6sung\" width=\"290\" height=\"150\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-general-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p>wobei C\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0und C\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0die Integrationskonstanten sind.<\/p>\n<p>1)<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Heat-Conduction-in-a-Large-Plane-Wall-figure.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"alignright size-medium wp-image-20228 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Heat-Conduction-in-a-Large-Plane-Wall-figure-300x276.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitung in einer gro\u00dfen ebenen Wand\" width=\"300\" height=\"276\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Heat-Conduction-in-a-Large-Plane-Wall-figure-300x276.png\" \/><\/a><\/p>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights  lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\">\n<p><span>Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (x) durch diese dicke ebene Wand, wenn:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span>Die Temperaturen an beiden Oberfl\u00e4chen betragen 15,0 \u00b0 C.<\/span><\/li>\n<li><span>Die Dicke dieser Wand betr\u00e4gt 2L = 10 mm.<\/span><\/li>\n<li><span>Die Materialleitf\u00e4higkeit betr\u00e4gt k = 2,8 W \/ mK (entspricht Urandioxid bei 1000 \u00b0 C).<\/span><\/li>\n<li><span>Die volumetrische Heizrate betr\u00e4gt q\u00a0<\/span><sub><span>V<\/span><\/sub><span>\u00a0= 10\u00a0<\/span><sup><span>6<\/span><\/sup><span>\u00a0W \/ m\u00a0<\/span><sup><span>3<\/span><\/sup><\/li>\n<\/ul>\n<p><span>In diesem Fall werden die Oberfl\u00e4chen bei gegebenen Temperaturen T\u00a0<\/span><sub><span>s, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0und T\u00a0<\/span><sub><span>s, 2 gehalten<\/span><\/sub><span>\u00a0.\u00a0Dies entspricht der\u00a0<\/span><a title=\"Dirichlet-Randbedingung - Typ I-Randbedingung\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/thermal-conduction\/heat-conduction-equation\/dirichlet-boundary-condition-type-i-boundary-condition\/\"><span>Dirichlet-Randbedingung<\/span><\/a><span>\u00a0.\u00a0Dar\u00fcber hinaus ist dieses Problem thermisch symmetrisch und daher k\u00f6nnen wir auch die\u00a0<\/span><a title=\"Adiabatische Grenze - Thermische Symmetrie\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/thermal-conduction\/heat-conduction-equation\/adiabatic-boundary-thermal-symmetry\/\"><span>thermische Symmetrie-Randbedingung verwenden<\/span><\/a><span>\u00a0.\u00a0Die Konstanten k\u00f6nnen durch Substitution in die allgemeine L\u00f6sung bewertet werden und haben die Form:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-boundary-conditions.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20231 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-boundary-conditions.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitungsgleichung - Randbedingungen\" width=\"428\" height=\"110\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-boundary-conditions.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Die resultierende Temperaturverteilung und die Mittellinientemperatur (x = 0) (Maximum) in dieser ebenen Wand bei diesen spezifischen Randbedingungen sind:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20232 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitungsgleichung - L\u00f6sung\" width=\"608\" height=\"210\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-conduction-equation-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Der\u00a0<\/span><a title=\"W\u00e4rmestromdichte - W\u00e4rmestrom\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/introduction-to-heat-transfer\/heat-flux-density-thermal-flux\/\"><span>W\u00e4rmefluss<\/span><\/a><span>\u00a0an jedem Punkt q\u00a0<\/span><sub><span>x<\/span><\/sub><span>\u00a0[Wm\u00a0<\/span><sup><span>-2<\/span><\/sup><span>\u00a0] in der Wand kann nat\u00fcrlich unter Verwendung der Temperaturverteilung und nach dem\u00a0<\/span><a title=\"Fourier'sches Gesetz der W\u00e4rmeleitung\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-das-fourier-warmeleitungsgesetz-definition\/\"><strong><span>Fourier-Gesetz bestimmt werden<\/span><\/strong><\/a><span>\u00a0.\u00a0Beachten Sie, dass mit der W\u00e4rmeerzeugung der W\u00e4rmefluss nicht mehr unabh\u00e4ngig von x ist, daher:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-condution-through-wall.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20233 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-condution-through-wall.png\" alt=\"Hitzeeinwirkung durch die Wand\" width=\"315\" height=\"178\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-condution-through-wall.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong><span>Beispiel einer W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung<\/span><\/strong><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights  lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\">\n<div class=\"su-spacer\"><\/div>\n<h2><span>W\u00e4rmeleitung in einem Brennstab<\/span><\/h2>\n<p><span>Die meisten PWRs verwenden den\u00a0<\/span><strong><span>Uranbrennstoff<\/span><\/strong><span>\u00a0, der in Form von\u00a0<\/span><strong><span>Urandioxid<\/span><\/strong><span>\u00a0vorliegt\u00a0.\u00a0Urandioxid ist ein schwarzer halbleitender Feststoff mit sehr geringer W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit.\u00a0Andererseits hat das Urandioxid einen sehr hohen Schmelzpunkt und ein bekanntes Verhalten.\u00a0Das UO\u00a0<\/span><sub><span>2<\/span><\/sub><span>\u00a0wird zu\u00a0<\/span><strong><span>zylindrischen Pellets<\/span><\/strong><span>\u00a0gepresst\u00a0, diese Pellets werden dann in den Feststoff gesintert.<\/span><\/p>\n<p><span>Diese\u00a0<\/span><strong><span>zylindrischen Pellets<\/span><\/strong><span>\u00a0werden dann in einem Brennstab (oder Brennstoff pin) geladen und eingekapselt, die aus Zirconium &#8211;\u00a0Legierungen sind aufgrund seines sehr geringen Absorptionsquerschnittes\u00a0(im Unterschied zu\u00a0dem rostfreien Stahl).\u00a0Die Oberfl\u00e4che des Rohrs, die die Pellets bedeckt, wird als\u00a0<strong>Brennstoffmantel bezeichnet<\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n<p><span>Siehe auch:\u00a0\u00a0<\/span><a title=\"W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit von Urandioxid\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/thermal-conduction\/thermal-conductivity\/thermal-conductivity-of-uranium-dioxide\/\"><span>W\u00e4rmeleitung von Urandioxid<\/span><\/a><\/p>\n<p><strong><span>Das thermische<\/span><\/strong><span>\u00a0und\u00a0<\/span><strong><span>mechanische<\/span><\/strong><span>\u00a0Verhalten von\u00a0<\/span><strong><span>Brennstoffpellets<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0und\u00a0<\/span><strong><span>Brennst\u00e4ben<\/span><\/strong><span>\u00a0bildet eine von drei zentralen Konstruktionsdisziplinen.\u00a0<\/span><strong><span>Kernbrennstoff<\/span><\/strong><span>\u00a0wird unter sehr unwirtlichen Bedingungen (thermisch, strahlend, mechanisch) betrieben und muss mehr als normalen Betriebsbedingungen standhalten.\u00a0Beispielsweise erreichen die Temperaturen in der Mitte von Brennstoffpellets mehr als\u00a0<\/span><strong><span>1000 \u00b0 C<\/span><\/strong><span>\u00a0(1832 \u00b0 F), begleitet von Spaltgasfreisetzungen.\u00a0Daher ist eine detaillierte Kenntnis der Temperaturverteilung innerhalb eines einzelnen Brennstabs f\u00fcr den sicheren Betrieb von Kernbrennstoff unerl\u00e4sslich.\u00a0In diesem Abschnitt werden wir die\u00a0<\/span><strong><span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong><span>\u00a0in\u00a0<\/span><strong><span>Zylinderkoordinaten untersuchen<\/span><\/strong><span>unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung bei gegebener Oberfl\u00e4chentemperatur (dh unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung).\u00a0Eine umfassende Analyse des Brennstabtemperaturprofils wird in einem separaten Abschnitt untersucht.<\/span><\/p>\n<h2><strong><span>Temperatur in der Mittellinie eines Brennstoffpellets<\/span><\/strong><\/h2>\n<p><span>Betrachten Sie das Brennstoffpellet mit dem Radius\u00a0<\/span><strong><span>r\u00a0<\/span><sub><span>U<\/span><\/sub><span>\u00a0= 0,40 cm<\/span><\/strong><span>\u00a0, bei dem eine gleichm\u00e4\u00dfige und konstante W\u00e4rmeerzeugung pro Volumeneinheit\u00a0<\/span><strong><span>q\u00a0<\/span><sub><span>V<\/span><\/sub><span>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span><sup><span>3<\/span><\/sup><span>\u00a0] erfolgt<\/span><\/strong><span>\u00a0.\u00a0Anstelle der volumetrischen Heizrate q\u00a0<\/span><sub><span>V<\/span><\/sub><span>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span><sup><span>3<\/span><\/sup><span>\u00a0] verwenden Ingenieure h\u00e4ufig die\u00a0<\/span><strong><span>lineare Heizrate q\u00a0<\/span><sub><span>L<\/span><\/sub><span>\u00a0[W \/ m]<\/span><\/strong><span>\u00a0, die die Heizrate eines Meters Brennstab darstellt.\u00a0Die\u00a0<\/span><strong><span>lineare Heizrate<\/span><\/strong><span>\u00a0kann aus der volumetrischen Heizrate berechnet werden durch:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/linear-heat-rate-vs-volumetric-heat-rate.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20236 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/linear-heat-rate-vs-volumetric-heat-rate.png\" alt=\"lineare Heizrate gegen volumetrische Heizrate\" width=\"125\" height=\"49\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/linear-heat-rate-vs-volumetric-heat-rate.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Die Mittellinie wird als Ursprung f\u00fcr die r-Koordinate verwendet.\u00a0Aufgrund der Symmetrie in z-Richtung und in azimutaler Richtung k\u00f6nnen wir Variablen trennen und dieses Problem zu\u00a0<\/span><strong><span>einem eindimensionalen Problem<\/span><\/strong><span>\u00a0vereinfachen\u00a0.\u00a0Wir werden also nur nach der Temperatur als Funktion des Radius\u00a0<\/span><strong><span>T (r)<\/span><\/strong><span>\u00a0suchen.\u00a0F\u00fcr eine konstante\u00a0<\/span><a title=\"W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-warmeleitfahigkeit-definition-2\/\"><span>W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/span><\/a><span>\u00a0ist k, die geeignete Form der\u00a0<\/span><strong><span>zylindrischen W\u00e4rmegleichung<\/span><\/strong><span>\u00a0,:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-2.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20237 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-2.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - zylindrisch - 2\" width=\"503\" height=\"178\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-2.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Die allgemeine L\u00f6sung dieser Gleichung lautet:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-general-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20238 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-general-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - zylindrisch - allgemeine L\u00f6sung\" width=\"323\" height=\"149\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-general-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>wobei C\u00a0<\/span><sub><span>1<\/span><\/sub><span>\u00a0und C\u00a0<\/span><sub><span>2<\/span><\/sub><span>\u00a0die Integrationskonstanten sind.<\/span><\/p>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"alignright size-medium wp-image-20223 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet-244x300.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitung - Brennstoffpellet\" width=\"244\" height=\"300\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet-244x300.png\" \/><\/a><span>Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (r)<\/span><\/strong><span>\u00a0in diesem Brennstoffpellet, wenn:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span>Die Temperaturen an der Oberfl\u00e4che des Brennstoffpellets betragen\u00a0<\/span><strong><span>T\u00a0<\/span><sub><span>U<\/span><\/sub><span>\u00a0= 420 \u00b0 C.<\/span><\/strong><\/li>\n<li><span>der Brennstoffpelletradius\u00a0<\/span><strong><span>r\u00a0<\/span><sub><span>U<\/span><\/sub><span>\u00a0= 4 mm<\/span><\/strong><span>\u00a0.<\/span><\/li>\n<li><span>Die Leitf\u00e4higkeit des gemittelten Materials betr\u00e4gt\u00a0<\/span><strong><span>k = 2,8 W \/ mK<\/span><\/strong><span>\u00a0(entspricht Urandioxid bei 1000 \u00b0 C).<\/span><\/li>\n<li><span>Die lineare Heizrate betr\u00e4gt\u00a0<\/span><strong><span>q\u00a0<\/span><sub><span>L<\/span><\/sub><span>\u00a0= 300 W \/ cm<\/span><\/strong><span>\u00a0und somit betr\u00e4gt die volumetrische Heizrate q\u00a0<\/span><sub><span>V<\/span><\/sub><span>\u00a0= 597 \u00d7 10\u00a0<\/span><sup><span>6<\/span><\/sup><span>\u00a0W \/ m\u00a0<\/span><sup><span>3<\/span><\/sup><\/li>\n<\/ul>\n<p><span>In diesem Fall wird die Oberfl\u00e4che bei gegebenen Temperaturen T\u00a0<\/span><sub><span>U gehalten<\/span><\/sub><span>\u00a0.\u00a0Dies entspricht der\u00a0<\/span><a title=\"Dirichlet-Randbedingung - Typ I-Randbedingung\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/thermal-conduction\/heat-conduction-equation\/dirichlet-boundary-condition-type-i-boundary-condition\/\"><span>Dirichlet-Randbedingung<\/span><\/a><span>\u00a0.\u00a0Dar\u00fcber hinaus ist dieses Problem thermisch symmetrisch und daher k\u00f6nnen wir auch die\u00a0<\/span><a title=\"Adiabatische Grenze - Thermische Symmetrie\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-engineering\/heat-transfer\/thermal-conduction\/heat-conduction-equation\/adiabatic-boundary-thermal-symmetry\/\"><span>thermische Symmetrie-Randbedingung verwenden<\/span><\/a><span>\u00a0.\u00a0Die Konstanten k\u00f6nnen durch Substitution in die allgemeine L\u00f6sung bewertet werden und haben die Form:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-boundary-conditions.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20239 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-boundary-conditions.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - zylindrisch - Randbedingungen\" width=\"337\" height=\"140\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-boundary-conditions.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Die resultierende Temperaturverteilung und die Mittellinientemperatur (r = 0) (maximal) in diesem zylindrischen Brennstoffpellet bei diesen spezifischen Randbedingungen sind:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20240 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - zylindrisch - L\u00f6sung\" width=\"322\" height=\"162\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cylindrical-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Der\u00a0<\/span><strong><span>radiale W\u00e4rmefluss<\/span><\/strong><span>\u00a0bei jedem Radius q\u00a0<\/span><sub><span>r<\/span><\/sub><span>\u00a0[Wm\u00a0<\/span><sup><span>-1<\/span><\/sup><span>\u00a0] im Zylinder kann nat\u00fcrlich unter Verwendung der Temperaturverteilung und nach dem\u00a0<\/span><a title=\"Fourier'sches Gesetz der W\u00e4rmeleitung\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-das-fourier-warmeleitungsgesetz-definition\/\"><span>Fourier-Gesetz bestimmt werden<\/span><\/a><span>\u00a0.\u00a0Beachten Sie, dass mit der W\u00e4rmeerzeugung der W\u00e4rmefluss nicht mehr unabh\u00e4ngig von r ist.<\/span><\/p>\n<p><span>Die folgende Abbildung zeigt die Temperaturverteilung im Brennstoffpellet bei verschiedenen Leistungsstufen.<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Temperature-distribution-nuclear-fuel.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-large wp-image-20224 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Temperature-distribution-nuclear-fuel-1024x465.png\" alt=\"Temperaturverteilung - Kernbrennstoff\" width=\"669\" height=\"304\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Temperature-distribution-nuclear-fuel-1024x465.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>______<\/span><\/p>\n<p><span>Die Temperatur in einem Betriebsreaktor variiert von Punkt zu Punkt innerhalb des Systems.\u00a0Infolgedessen gibt es immer\u00a0<\/span><strong><span>einen Brennstab<\/span><\/strong><span>\u00a0und\u00a0<\/span><strong><span>ein lokales Volumen<\/span><\/strong><span>\u00a0, die\u00a0<\/span><strong><span>hei\u00dfer sind\u00a0<\/span><\/strong><span>\u00a0als alle anderen.\u00a0Um diese\u00a0<\/span><strong><span>hei\u00dfen Orte<\/span><\/strong><span>\u00a0zu begrenzen,\u00a0m\u00fcssen\u00a0die\u00a0<\/span><a title=\"Hot Channel-Faktoren - Peaking-Faktoren\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-power\/reactor-physics\/reactor-operation\/normal-operation-reactor-control\/hot-channel-factors-peaking-factors\/\"><strong><span>Spitzenleistungsgrenzen<\/span><\/strong><\/a><span>\u00a0eingef\u00fchrt werden.\u00a0Die Spitzenleistungsgrenzen sind mit einer\u00a0<\/span><strong><span>Siedekrise<\/span><\/strong><span>\u00a0und mit den Bedingungen verbunden, die eine Brennstoffpelletschmelze verursachen k\u00f6nnen.\u00a0Metallurgische \u00dcberlegungen\u00a0<\/span><strong><span>begrenzen jedoch<\/span><\/strong><span>\u00a0die Temperatur des Brennstoffmantels und des Brennstoffpellets nach oben.\u00a0\u00dcber diesen\u00a0<\/span><a title=\"Was ist Temperatur - Physik\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-temperatur-physik-definition\/\"><span>Temperaturen<\/span><\/a><span>Es besteht die Gefahr, dass der Kraftstoff besch\u00e4digt wird.\u00a0Eines der Hauptziele bei der Auslegung eines Kernreaktors besteht darin, die W\u00e4rmeabfuhr bei der gew\u00fcnschten Leistung zu gew\u00e4hrleisten und gleichzeitig sicherzustellen, dass die maximale Brennstofftemperatur und die maximale Plattiertemperatur immer unter diesen vorgegebenen Werten liegen.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights  lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\">\n<div class=\"su-spacer\"><\/div>\n<h2><span>Temperaturverteilung im Kraftstoffmantel<\/span><\/h2>\n<p><strong><span>Die Ummantelung<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0ist die \u00e4u\u00dfere Schicht der Brennst\u00e4be, die zwischen dem\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Reaktork\u00fchlmittel<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0und dem\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Kernbrennstoff<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0(dh\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Brennstoffpellets<\/span><\/strong><span>\u00a0) steht.\u00a0Es besteht aus einem korrosionsbest\u00e4ndigen Material mit geringem Absorptionsquerschnitt f\u00fcr thermische Neutronen, \u00fcblicherweise einer\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Zirkoniumlegierung<\/span><\/strong><span>\u00a0.\u00a0<\/span><strong><span>Die Ummantelung<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0verhindert, dass radioaktive Spaltprodukte aus der Brennstoffmatrix in das Reaktork\u00fchlmittel entweichen und dieses verunreinigen.\u00a0Die Verkleidung ist eines der Hindernisse beim\u00a0Ansatz der\u00a0<\/span><strong><span>Tiefenverteidigung<\/span><\/strong><span>\u00a0.<\/span><\/p>\n<p><span>Betrachten Sie den Kraftstoffmantel mit Innenradius\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>r\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 2<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 0,408 cm<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0und Au\u00dfenradius\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>r\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 0,465 cm<\/span><\/strong><span>\u00a0.\u00a0Im Vergleich zu Brennstoffpellets gibt es im Brennstoffmantel fast keine W\u00e4rmeerzeugung (der Mantel wird\u00a0\u00a0<\/span><a title=\"Energiefreisetzung aus der Spaltung\" href=\"https:\/\/www.nuclear-power.com\/nuclear-power\/fission\/energy-release-from-fission\/\"><span>durch Strahlung leicht erw\u00e4rmt<\/span><\/a><span>\u00a0).\u00a0Die gesamte im Kraftstoff erzeugte W\u00e4rme muss \u00fcber die\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Leitung<\/span><\/strong><span>\u00a0\u00a0durch die Ummantelung \u00fcbertragen werden. Daher ist die Innenfl\u00e4che hei\u00dfer als die Au\u00dfenfl\u00e4che.<\/span><\/p>\n<p><span>Um die Temperaturverteilung durch die Ummantelung zu ermitteln, m\u00fcssen wir die\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>W\u00e4rmeleitungsgleichung l\u00f6sen<\/span><\/strong><span>\u00a0.\u00a0Aufgrund der Symmetrie in z-Richtung und in azimutaler Richtung k\u00f6nnen wir Variablen trennen und dieses Problem zu einem eindimensionalen Problem vereinfachen.\u00a0Wir werden also nur nach der Temperatur als Funktion des Radius T (r) suchen.\u00a0In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass innerhalb der Ummantelung streng genommen keine W\u00e4rme erzeugt wird.\u00a0F\u00fcr eine konstante W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit ist k, die geeignete Form der zylindrischen W\u00e4rmegleichung ,:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20241 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - Verkleidung\" width=\"190\" height=\"72\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Die allgemeine L\u00f6sung dieser Gleichung lautet:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-general-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20242 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-general-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - Verkleidung - allgemeine L\u00f6sung\" width=\"245\" height=\"133\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-general-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>wobei C\u00a0<\/span><sub><span>1<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0und C\u00a0<\/span><sub><span>2<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0die Integrationskonstanten sind.<\/span><\/p>\n<p><span>1)<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"alignright size-medium wp-image-20223 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet-244x300.png\" alt=\"W\u00e4rmeleitung - Brennstoffpellet\" width=\"244\" height=\"300\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/Thermal-conduction-fuel-pellet-244x300.png\" \/><\/a><span>Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (r) in dieser Kraftstoffh\u00fclle, wenn:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span>Die Temperatur an der Innenfl\u00e4che der Ummantelung betr\u00e4gt T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 2<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 360 \u00b0 C.<\/span><\/li>\n<li><span>Die Temperatur des Reaktork\u00fchlmittels an dieser axialen Koordinate betr\u00e4gt T\u00a0<\/span><sub><span>Volumen<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 300 \u00b0 C.<\/span><\/li>\n<li><span>Der W\u00e4rme\u00fcbergangskoeffizient (Konvektion; turbulente Str\u00f6mung) betr\u00e4gt h = 41 kW \/ m\u00a0<\/span><sup><span>2<\/span><\/sup><span>\u00a0.K.<\/span><\/li>\n<li><span>Die Leitf\u00e4higkeit des gemittelten Materials betr\u00e4gt k = 18 W \/ mK<\/span><\/li>\n<li><span>Die lineare Heizrate des Brennstoffs betr\u00e4gt q\u00a0<\/span><sub><span>L<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 300 W \/ cm und somit betr\u00e4gt die volumetrische Heizrate q\u00a0<\/span><sub><span>V<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0= 597 \u00d7 10\u00a0<\/span><sup><span>6<\/span><\/sup><span>\u00a0\u00a0W \/ m\u00a0<\/span><sup><span>3<\/span><\/sup><\/li>\n<\/ul>\n<p><span>Aus der Grundbeziehung f\u00fcr die W\u00e4rme\u00fcbertragung durch Konvektion k\u00f6nnen wir die \u00e4u\u00dfere Oberfl\u00e4che der Ummantelung berechnen als:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/newtons-law-cladding.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20269 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/newtons-law-cladding.png\" alt=\"Newton Law - Verkleidung\" width=\"423\" height=\"299\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/newtons-law-cladding.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Wie zu sehen ist, haben wir auch in diesem Fall Oberfl\u00e4chentemperaturen T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0und T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 2 angegeben<\/span><\/sub><span>\u00a0.\u00a0Dies entspricht der Dirichlet-Randbedingung.\u00a0Die Konstanten k\u00f6nnen durch Substitution in die allgemeine L\u00f6sung bewertet werden und haben die Form:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-general-solution-cladding.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20264 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-general-solution-cladding.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - allgemeine L\u00f6sung - Verkleidung\" width=\"352\" height=\"53\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-general-solution-cladding.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><span>Wenn wir nach C\u00a0<\/span><sub><span>1<\/span><\/sub><span>\u00a0\u00a0und C\u00a0<\/span><sub><span>2<\/span><\/sub><span>\u00a0aufl\u00f6sen\u00a0\u00a0und in die allgemeine L\u00f6sung einsetzen, erhalten wir:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-solution.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20265 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-solution.png\" alt=\"W\u00e4rmegleichung - Verkleidung - L\u00f6sung\" width=\"381\" height=\"84\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/heat-equation-cladding-solution.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong><span>\u2206T &#8211; Verkleidungsfl\u00e4che &#8211; K\u00fchlmittel<\/span><\/strong><\/p>\n<p><span>Detaillierte Kenntnisse der Geometrie, des Au\u00dfenmantelradius, der linearen Heizrate, des konvektiven W\u00e4rme\u00fcbergangskoeffizienten und der K\u00fchlmitteltemperatur bestimmen\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>\u2206T\u00a0<\/span><\/strong><span>\u00a0zwischen dem K\u00fchlmittel (T\u00a0<\/span><sub><span>Bulk<\/span><\/sub><span>\u00a0) und der Manteloberfl\u00e4che (T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0).\u00a0Daher k\u00f6nnen wir die Manteloberfl\u00e4chentemperatur (T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0) einfach nach dem\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Newtonschen Gesetz<\/span><\/strong><span>\u00a0berechnen\u00a0:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/%E2%88%86T-cladding-surface-coolant-newtons-law.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20266 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/%E2%88%86T-cladding-surface-coolant-newtons-law.png\" alt=\"\u2206T - Verkleidungsfl\u00e4che - K\u00fchlmittel - Newtonsches Gesetz\" width=\"425\" height=\"306\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/\u2206T-cladding-surface-coolant-newtons-law.png\" \/><\/a><\/p>\n<p><strong><span>\u2206T in der Kraftstoffverkleidung<\/span><\/strong><\/p>\n<p><span>Detaillierte Kenntnisse der Geometrie, des \u00e4u\u00dferen und inneren Radius der Verkleidung, der linearen Heizrate und der Temperatur der Verkleidungsoberfl\u00e4che (T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 1<\/span><\/sub><span>\u00a0) bestimmen\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>\u2206T\u00a0<\/span><\/strong><span>\u00a0zwischen der \u00e4u\u00dferen und der inneren Oberfl\u00e4che der Verkleidung.\u00a0Daher k\u00f6nnen wir die Oberfl\u00e4chentemperatur des inneren Mantels (T\u00a0<\/span><sub><span>Zr, 2<\/span><\/sub><span>\u00a0) einfach nach dem\u00a0\u00a0<\/span><strong><span>Fourier-Gesetz<\/span><\/strong><span>\u00a0berechnen\u00a0:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/%E2%88%86T-in-fuel-cladding-fouriers-law.png\"><img loading=\"lazy\" class=\"aligncenter size-full wp-image-20267 lazy-loaded\" src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/%E2%88%86T-in-fuel-cladding-fouriers-law.png\" alt=\"\u2206T in Kraftstoffverkleidung - Fouriers-Gesetz\" width=\"370\" height=\"460\" data-lazy-type=\"image\" data-src=\"https:\/\/thermal-engineering.org\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/\u2206T-in-fuel-cladding-fouriers-law.png\" \/><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"lgc-column lgc-grid-parent lgc-grid-100 lgc-tablet-grid-100 lgc-mobile-grid-100 lgc-equal-heights  lgc-first lgc-last\">\n<div class=\"inside-grid-column\"><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;.<\/p>\n<p>Dieser Artikel basiert auf der maschinellen \u00dcbersetzung des englischen Originalartikels. Weitere Informationen finden Sie im Artikel auf Englisch. Sie k\u00f6nnen uns helfen. Wenn Sie die \u00dcbersetzung korrigieren m\u00f6chten, senden Sie diese bitte an: translations@nuclear-power.com oder f\u00fcllen Sie das Online-\u00dcbersetzungsformular aus. Wir bedanken uns f\u00fcr Ihre Hilfe und werden die \u00dcbersetzung so schnell wie m\u00f6glich aktualisieren. Danke.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung.\u00a0In diesem Artikel gibt es zwei Beispiele f\u00fcr die L\u00f6sung der W\u00e4rmegleichung.\u00a0Beide Beispiele sind mit L\u00f6sung.\u00a0W\u00e4rmetechnik Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung W\u00e4rmeleitung in einer gro\u00dfen ebenen Wand Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung Man betrachte die ebene Wand mit der &#8230; <a title=\"Was ist ein Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung &#8211; Definition\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-ein-beispiel-fur-eine-warmegleichung-problem-mit-der-losung-definition\/\" aria-label=\"Mehr dazu unter Was ist ein Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung &#8211; Problem mit der L\u00f6sung &#8211; Definition\">Weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[9],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v15.4 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Was ist ein Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung - Problem mit der L\u00f6sung - Definition<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Beispiel f\u00fcr eine W\u00e4rmegleichung - Problem mit der L\u00f6sung. 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