{"id":53510,"date":"2020-03-05T14:18:45","date_gmt":"2020-03-05T13:18:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/was-ist-warmeleitung-warmeleitung-definition\/"},"modified":"2020-03-05T14:19:45","modified_gmt":"2020-03-05T13:19:45","slug":"was-ist-warmeleitung-warmeleitung-definition","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/de\/was-ist-warmeleitung-warmeleitung-definition\/","title":{"rendered":"Was ist W\u00e4rmeleitung – W\u00e4rmeleitung – Definition"},"content":{"rendered":"
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Die W\u00e4rmeleitung, auch W\u00e4rmeleitung genannt, findet innerhalb eines K\u00f6rpers oder zwischen zwei sich ber\u00fchrenden K\u00f6rpern statt, ohne dass Massenstrom und Vermischung beteiligt sind.\u00a0W\u00e4rmetechnik<\/div>\n<\/div>\n
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W\u00e4rmeleitung – W\u00e4rmeleitung<\/h2>\n

\"W\u00e4rmeleitung<\/a>Die W\u00e4rmeleitung<\/strong>\u00a0, auch\u00a0W\u00e4rmeleitung genannt<\/strong>\u00a0, findet innerhalb eines K\u00f6rpers oder zwischen zwei sich\u00a0ber\u00fchrenden K\u00f6rpern statt,<\/strong>\u00a0ohne dass Massenstrom und Vermischung beteiligt sind.\u00a0Es ist der direkte mikroskopische Austausch der\u00a0kinetischen Energie<\/a>\u00a0von Partikeln durch die Grenze zwischen zwei Systemen.\u00a0Die W\u00e4rme\u00fcbertragung<\/a>\u00a0durch\u00a0W\u00e4rmeleitung<\/strong>\u00a0ist abh\u00e4ngig von der treibenden \u201eKraft\u201c der\u00a0Temperaturdifferenz<\/strong>\u00a0und der\u00a0W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/strong>\u00a0(oder dem Widerstand gegen die W\u00e4rme\u00fcbertragung).\u00a0Die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit ist abh\u00e4ngig von der Art und den Abmessungen des W\u00e4rmetr\u00e4gers.\u00a0Alle W\u00e4rme\u00fcbertragungsprobleme betreffen die\u00a0Temperaturdifferenz<\/strong>\u00a0, die\u00a0Geometrie<\/strong>und die\u00a0physikalischen Eigenschaften<\/strong>\u00a0des zu untersuchenden Objekts.\u00a0Bei Problemen mit der W\u00e4rmeleitung ist das zu untersuchende Objekt normalerweise ein Feststoff.<\/p>\n

Mikroskopisch wird diese Art des Energietransfers dem\u00a0freien Elektronenfluss<\/strong>\u00a0von h\u00f6heren zu niedrigeren Energieniveaus, der\u00a0Gittervibration<\/strong>\u00a0und der\u00a0molekularen Kollision zugeschrieben<\/strong>\u00a0.\u00a0\u00a0Stellen\u00a0Sie sich einen\u00a0Steinblock<\/strong>\u00a0mit hoher Temperatur vor, der aus Atomen besteht, die stark um ihre durchschnittliche Position schwingen.\u00a0Bei niedrigen Temperaturen<\/strong>\u00a0schwingen die Atome weiter, jedoch mit\u00a0geringerer Intensit\u00e4t<\/strong>\u00a0.\"nulltes<\/a>Wenn ein hei\u00dferer Steinblock mit einem k\u00fchleren Block in Kontakt gebracht wird, geben die stark schwingenden Atome am Rand des hei\u00dferen Blocks ihre kinetische Energie an die weniger schwingenden Atome am Rand des k\u00fchlen Blocks ab.\u00a0In diesem Fall findet\u00a0zwischen diesen beiden Bl\u00f6cken ein\u00a0Energietransfer statt<\/strong>\u00a0, und\u00a0durch diese zuf\u00e4lligen Vibrationen\u00a0flie\u00dft\u00a0<\/strong>W\u00e4rme<\/a><\/strong>\u00a0vom hei\u00dferen zum k\u00fchleren Block.\u00a0Die moderne Sichtweise besteht darin, den Energietransfer Gitterwellen zuzuschreiben, die durch atomare Bewegung induziert werden.\u00a0Bei einem elektrischen Isolator erfolgt die Energie\u00fcbertragung ausschlie\u00dflich \u00fcber diese Gitterwellen.\u00a0In einem Leiter liegt es auch an der Translationsbewegung der freien Elektronen.<\/p>\n

Siehe auch:\u00a0Zeroth-Gesetz der Thermodynamik<\/a><\/p>\n

Im Allgemeinen\u00a0Metalle<\/strong>\u00a0sind in der\u00a0Regel\u00a0guter Leiter<\/strong>\u00a0von\u00a0W\u00e4rmeenergie<\/a>\u00a0.\u00a0Es ist eng mit seiner\u00a0guten elektrischen Leitf\u00e4higkeit verbunden<\/strong>\u00a0.\u00a0Bei Metallen ist die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit recht hoch, und diejenigen Metalle, die die besten elektrischen Leiter sind, sind auch die besten W\u00e4rmeleiter.\u00a0Dies liegt an der chemischen Bindung der Metalle.\u00a0Metallische Bindungen haben\u00a0frei bewegliche Elektronen<\/strong>\u00a0(freie Elektronen), die W\u00e4rmeenergie schnell durch das Metall \u00fcbertragen.\u00a0Das Elektronenfluid eines leitenden metallischen Feststoffs leitet den gr\u00f6\u00dften Teil des W\u00e4rmeflusses durch den Feststoff.\u00a0Der Phononenfluss ist immer noch vorhanden, tr\u00e4gt aber weniger Energie.\u00a0Diese Mechanismen der W\u00e4rmeleitung werden sp\u00e4ter diskutiert.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Fourier’sches W\u00e4rmeleitungsgesetz<\/h2>\n

W\u00e4rme\u00fcbertragungsprozesse<\/strong>\u00a0k\u00f6nnen durch geeignete Ratengleichungen quantifiziert werden.\u00a0Die Geschwindigkeitsgleichung in diesem W\u00e4rme\u00fcbertragungsmodus basiert auf dem\u00a0Fourierschen W\u00e4rmeleitungsgesetz<\/strong>\u00a0.\u00a0Dieses Gesetz besagt, dass die\u00a0Zeitrate der W\u00e4rme\u00fcbertragung<\/strong>\u00a0durch ein Material\u00a0proportional zu<\/strong>\u00a0dem negativen\u00a0Temperaturgradienten<\/strong>\u00a0und zu der Fl\u00e4che ist, die rechtwinklig zu dem Gradienten verl\u00e4uft, durch den die W\u00e4rme flie\u00dft.\u00a0Ihre Differentialform ist:<\/p>\n

\"Fourier'sches<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Die Proportionalit\u00e4tskonstante in der Beziehung erhalten wird ,\u00a0bekannt als\u00a0<\/span>thermische Leitf\u00e4higkeit<\/span><\/strong>\u00a0,\u00a0<\/span>k<\/span><\/strong>\u00a0(oder\u00a0<\/span>\u03bb<\/span><\/strong>\u00a0) des Materials.\u00a0Ein Material, das leicht Energie durch Leitung \u00fcbertr\u00e4gt, ist ein guter W\u00e4rmeleiter und hat einen hohen Wert von\u00a0<\/span>k<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0<\/span>Das Fourier-Gesetz<\/span><\/strong>\u00a0ist ein Ausdruck, der die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/span><\/strong>\u00a0definiert\u00a0.<\/span>Wie zu sehen ist,\u00a0m\u00fcssen wir\u00a0zur L\u00f6sung des\u00a0<\/span>Fourier-Gesetzes<\/span><\/strong>\u00a0die Temperaturdifferenz, die Geometrie und die W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit des Objekts ber\u00fccksichtigen.\u00a0Dieses Gesetz wurde erstmals 1822 von Joseph Fourier formuliert, der zu dem Schluss kam, dass \u201eder W\u00e4rmefluss, der aus der W\u00e4rmeleitung resultiert, proportional zur Gr\u00f6\u00dfe des Temperaturgradienten ist und dessen Vorzeichen entgegengesetzt ist\u201c.<\/span><\/p>\n

\u00c4hnlich wie das\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/strong>\u00a0den W\u00e4rmefluss durch eine Platte bestimmt, kann es auch verwendet werden, um die Temperaturdifferenz zu bestimmen, wenn\u00a0<\/span>q<\/span><\/strong>\u00a0bekannt ist.\u00a0Dies kann zur Berechnung der Temperatur in der Mitte des Brennstoffpellets verwendet werden, wie in den folgenden Abschnitten gezeigt wird.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/h2>\n

\"Kernbrennstoff<\/a>In fr\u00fcheren Abschnitten haben wir uns insbesondere mit der eindimensionalen W\u00e4rme\u00fcbertragung im station\u00e4ren Zustand befasst, die durch das\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/a>\u00a0der W\u00e4rmeleitung\u00a0charakterisiert werden kann\u00a0.\u00a0Ihre Anwendbarkeit ist jedoch sehr begrenzt.\u00a0Dieses Gesetz geht von einer station\u00e4ren W\u00e4rme\u00fcbertragung durch einen planaren K\u00f6rper aus (beachten Sie, dass das Fourier-Gesetz auch f\u00fcr Zylinder- und Kugelkoordinaten abgeleitet werden kann),\u00a0<\/span>ohne W\u00e4rmequellen<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Es ist einfach die Geschwindigkeitsgleichung in diesem W\u00e4rme\u00fcbertragungsmodus, in dem der Temperaturgradient bekannt ist.<\/span><\/p>\n

Ein Hauptproblem bei den meisten Leitungsanalysen besteht jedoch darin, das\u00a0<\/span>Temperaturfeld<\/span><\/strong>\u00a0in einem Medium\u00a0zu bestimmen, das\u00a0sich aus den an seine Grenzen auferlegten Bedingungen ergibt.\u00a0In der Technik m\u00fcssen wir W\u00e4rme\u00fcbertragungsprobleme l\u00f6sen, die unterschiedliche Geometrien und Bedingungen betreffen, wie z. B. ein zylindrisches Kernbrennelement, bei dem es sich um eine interne W\u00e4rmequelle oder die Wand eines kugelf\u00f6rmigen Containments handelt.\u00a0Diese Probleme sind komplexer als die planaren Analysen, die wir in den vorherigen Abschnitten durchgef\u00fchrt haben.\u00a0Daher werden diese Probleme Gegenstand dieses Abschnitts sein, in dem die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong><\/a>\u00a0eingef\u00fchrt und gel\u00f6st wird.<\/span><\/p>\n

Siehe auch:\u00a0<\/span>W\u00e4rmegleichung<\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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W\u00e4rmeleitungsgleichung – Allgemeine Form<\/span><\/h2>\n

Die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0ist eine partielle Differentialgleichung, die die Verteilung der\u00a0<\/span>W\u00e4rme<\/span><\/strong>\u00a0(oder des\u00a0<\/span>Temperaturfeldes<\/span><\/strong>\u00a0) in einem bestimmten K\u00f6rper \u00fcber die Zeit beschreibt.\u00a0Detaillierte Kenntnisse des Temperaturfeldes sind f\u00fcr die W\u00e4rmeleitung durch Materialien sehr wichtig.\u00a0Sobald diese Temperaturverteilung bekannt ist, kann der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsfluss<\/span><\/strong>\u00a0an jedem Punkt im Material oder auf seiner Oberfl\u00e4che nach dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/a>\u00a0berechnet\u00a0werden<\/a>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Die W\u00e4rmegleichung\u00a0<\/span>leitet sich<\/span><\/strong>\u00a0aus dem\u00a0<\/span>Fourier-Gesetz<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>der Energieerhaltung ab<\/span><\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0Das Fourier-Gesetz besagt, dass die zeitliche\u00a0<\/span>W\u00e4rme\u00fcbertragungsrate<\/span><\/strong>\u00a0durch ein Material\u00a0<\/span>proportional zum<\/span><\/strong>\u00a0negativen\u00a0<\/span>Temperaturgradienten<\/span><\/strong>\u00a0und zu der Fl\u00e4che im rechten Winkel zu dem Gradienten ist, durch den die W\u00e4rme flie\u00dft.<\/span><\/p>\n

\"Fourier'sches<\/a><\/p>\n

Eine \u00c4nderung der inneren Energie pro Volumeneinheit im Material \u0394Q ist proportional zur \u00c4nderung der Temperatur \u0394u.\u00a0Das ist:<\/span><\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/span><\/strong>p<\/span><\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/span><\/strong><\/p>\n

Generelle Form<\/span><\/strong><\/p>\n

Unter Verwendung dieser beiden Gleichungen k\u00f6nnen wir die allgemeine W\u00e4rmeleitungsgleichung ableiten:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/a><\/p>\n

Diese Gleichung wird auch als\u00a0<\/span>Fourier-Biot-Gleichung<\/span><\/strong>\u00a0bezeichnet und bietet das grundlegende Werkzeug f\u00fcr die W\u00e4rmeleitungsanalyse.\u00a0Aus seiner L\u00f6sung k\u00f6nnen wir das Temperaturfeld als Funktion der Zeit erhalten.<\/span><\/p>\n

In Worten hei\u00dft es in der\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0:<\/span><\/p>\n

Zu jedem Zeitpunkt im Medium muss die Nettorate der Energie\u00fcbertragung durch Leitung in ein Volumeneinheit plus die Volumenrate der W\u00e4rmeenergieerzeugung gleich der \u00c4nderungsrate der im Volumen gespeicherten W\u00e4rmeenergie sein.<\/span><\/em><\/p>\n

Siehe auch:\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/span><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Beispiel – W\u00e4rmeleitung im Brennstab<\/span><\/h2>\n

\"Kernbrennstoff<\/a>Die meisten PWRs verwenden den\u00a0<\/span>Uranbrennstoff<\/span><\/strong>\u00a0, der in Form von\u00a0<\/span>Urandioxid<\/span><\/strong>\u00a0vorliegt\u00a0.\u00a0Urandioxid ist ein schwarzer halbleitender Feststoff mit sehr geringer W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit.\u00a0Andererseits hat das Urandioxid einen sehr hohen Schmelzpunkt und ein bekanntes Verhalten.\u00a0Das UO\u00a0<\/span>2<\/span><\/sub>\u00a0wird zu\u00a0<\/span>zylindrischen Pellets<\/span><\/strong>\u00a0gepresst\u00a0, diese Pellets werden dann in den Feststoff gesintert.<\/span><\/p>\n

Diese\u00a0<\/span>zylindrischen Pellets<\/span><\/strong>\u00a0werden dann in einem Brennstab (oder Brennstoff pin) geladen und eingekapselt, die aus Zirconium –\u00a0Legierungen sind aufgrund seines sehr geringen Absorptionsquerschnittes\u00a0(im Unterschied zu\u00a0dem rostfreien Stahl).\u00a0Die Oberfl\u00e4che des Rohrs, die die Pellets bedeckt, wird als\u00a0Brennstoffmantel bezeichnet<\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Siehe auch:\u00a0\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitung von Urandioxid<\/span><\/a><\/p>\n

Das thermische<\/span><\/strong>\u00a0und\u00a0<\/span>mechanische<\/span><\/strong>\u00a0Verhalten von\u00a0<\/span>Brennstoffpellets<\/span><\/strong>\u00a0\u00a0und\u00a0<\/span>Brennst\u00e4ben<\/span><\/strong>\u00a0bildet eine von drei zentralen Konstruktionsdisziplinen.\u00a0<\/span>Kernbrennstoff<\/span><\/strong>\u00a0wird unter sehr unwirtlichen Bedingungen (thermisch, strahlend, mechanisch) betrieben und muss mehr als normalen Betriebsbedingungen standhalten.\u00a0Beispielsweise erreichen die Temperaturen in der Mitte von Brennstoffpellets mehr als\u00a0<\/span>1000 \u00b0 C<\/span><\/strong>\u00a0(1832 \u00b0 F), begleitet von Spaltgasfreisetzungen.\u00a0Daher ist eine detaillierte Kenntnis der Temperaturverteilung innerhalb eines einzelnen Brennstabs f\u00fcr den sicheren Betrieb von Kernbrennstoff unerl\u00e4sslich.\u00a0In diesem Abschnitt werden wir die\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitungsgleichung<\/span><\/strong>\u00a0in\u00a0<\/span>Zylinderkoordinaten untersuchen<\/span><\/strong>unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung bei gegebener Oberfl\u00e4chentemperatur (dh unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung).\u00a0Eine umfassende Analyse des Brennstabtemperaturprofils wird in einem separaten Abschnitt untersucht.<\/span><\/p>\n

Temperatur in der Mittellinie eines Brennstoffpellets<\/span><\/strong><\/h2>\n

Betrachten Sie das Brennstoffpellet mit dem Radius\u00a0<\/span>r\u00a0<\/span>U<\/span><\/sub>\u00a0= 0,40 cm<\/span><\/strong>\u00a0, bei dem eine gleichm\u00e4\u00dfige und konstante W\u00e4rmeerzeugung pro Volumeneinheit\u00a0<\/span>q\u00a0<\/span>V<\/span><\/sub>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span>3<\/span><\/sup>\u00a0] erfolgt<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Anstelle der volumetrischen Heizrate q\u00a0<\/span>V<\/span><\/sub>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span>3<\/span><\/sup>\u00a0] verwenden Ingenieure h\u00e4ufig die\u00a0<\/span>lineare Heizrate q\u00a0<\/span>L<\/span><\/sub>\u00a0[W \/ m]<\/span><\/strong>\u00a0, die die Heizrate eines Meters Brennstab darstellt.\u00a0Die\u00a0<\/span>lineare Heizrate<\/span><\/strong>\u00a0kann aus der volumetrischen Heizrate berechnet werden durch:<\/span><\/p>\n

\"lineare<\/a><\/p>\n

Die Mittellinie wird als Ursprung f\u00fcr die r-Koordinate verwendet.\u00a0Aufgrund der Symmetrie in z-Richtung und in azimutaler Richtung k\u00f6nnen wir Variablen trennen und dieses Problem zu\u00a0<\/span>einem eindimensionalen Problem<\/span><\/strong>\u00a0vereinfachen\u00a0.\u00a0Wir werden also nur nach der Temperatur als Funktion des Radius\u00a0<\/span>T (r)<\/span><\/strong>\u00a0suchen.\u00a0F\u00fcr eine konstante\u00a0<\/span>W\u00e4rmeleitf\u00e4higkeit<\/span><\/a>\u00a0ist k, die geeignete Form der\u00a0<\/span>zylindrischen W\u00e4rmegleichung<\/span><\/strong>\u00a0,:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmegleichung<\/a><\/p>\n

Die allgemeine L\u00f6sung dieser Gleichung lautet:<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmegleichung<\/a><\/p>\n

wobei C\u00a0<\/span>1<\/span><\/sub>\u00a0und C\u00a0<\/span>2<\/span><\/sub>\u00a0die Integrationskonstanten sind.<\/span><\/p>\n

\"W\u00e4rmeleitung<\/a>Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (r)<\/span><\/strong>\u00a0in diesem Brennstoffpellet, wenn:<\/span><\/p>\n