{"id":49840,"date":"2020-01-07T14:15:43","date_gmt":"2020-01-07T13:15:43","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/que-es-la-ecuacion-de-calor-ecuacion-de-conduccion-de-calor-definicion\/"},"modified":"2020-01-07T14:18:42","modified_gmt":"2020-01-07T13:18:42","slug":"que-es-la-ecuacion-de-calor-ecuacion-de-conduccion-de-calor-definicion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/es\/que-es-la-ecuacion-de-calor-ecuacion-de-conduccion-de-calor-definicion\/","title":{"rendered":"Qu\u00e9 es la ecuaci\u00f3n de calor – Ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor – Definici\u00f3n"},"content":{"rendered":"
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La ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor es una ecuaci\u00f3n diferencial parcial que describe la distribuci\u00f3n de calor (o el campo de temperatura) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo.\u00a0Ingenieria termal<\/div>\n<\/div>\n
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Ecuaci\u00f3n de calor – Ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor<\/h2>\n

\"Combustible<\/a>En secciones anteriores, hemos tratado especialmente la transferencia de calor unidimensional en estado estacionario, que puede caracterizarse por la\u00a0ley<\/a>\u00a0de conducci\u00f3n de calor de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0.\u00a0Pero su aplicabilidad es muy limitada.\u00a0Esta ley supone la transferencia de calor en estado estable a trav\u00e9s de un cuerpo plano (tenga en cuenta que la ley de Fourier se puede derivar tambi\u00e9n para coordenadas cil\u00edndricas y esf\u00e9ricas),\u00a0sin fuentes de calor<\/strong>\u00a0.\u00a0Es simplemente la ecuaci\u00f3n de velocidad en este modo de transferencia de calor, donde se conoce el gradiente de temperatura.<\/p>\n

Pero un problema importante en la mayor\u00eda de los an\u00e1lisis de conducci\u00f3n es determinar el\u00a0campo de temperatura<\/strong>\u00a0en un medio resultante de las condiciones impuestas en sus l\u00edmites.\u00a0En ingenier\u00eda, tenemos que resolver problemas de transferencia de calor que involucran diferentes geometr\u00edas y diferentes condiciones, como un elemento cil\u00edndrico de combustible nuclear, que involucra una fuente interna de calor o la pared de una contenci\u00f3n esf\u00e9rica.\u00a0Estos problemas son m\u00e1s complejos que los an\u00e1lisis planos que hicimos en secciones anteriores.\u00a0Por lo tanto, estos problemas ser\u00e1n el tema de esta secci\u00f3n, en la cual\u00a0se introducir\u00e1 y resolver\u00e1 la\u00a0ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor<\/strong>\u00a0.<\/p>\n

Ecuaci\u00f3n general de conducci\u00f3n de calor<\/h2>\n

La\u00a0ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor<\/strong>\u00a0es una ecuaci\u00f3n diferencial parcial que describe la distribuci\u00f3n de\u00a0calor<\/strong>\u00a0(o el\u00a0campo de temperatura<\/strong>\u00a0) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo.\u00a0El conocimiento detallado del campo de temperatura es muy importante en la conducci\u00f3n t\u00e9rmica a trav\u00e9s de materiales.\u00a0Una vez que se conoce esta distribuci\u00f3n de temperatura, el\u00a0flujo de calor de conducci\u00f3n<\/strong>\u00a0en cualquier punto del material o en su superficie puede calcularse a partir de\u00a0la ley<\/a>\u00a0de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0.<\/p>\n

La ecuaci\u00f3n del calor se\u00a0deriva<\/strong>\u00a0de\u00a0la ley<\/strong>\u00a0de\u00a0Fourier<\/strong>\u00a0y la\u00a0conservaci\u00f3n de la energ\u00eda<\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0La ley de Fourier establece que la\u00a0tasa de<\/strong>\u00a0tiempo\u00a0de transferencia de calor a<\/strong>\u00a0trav\u00e9s de un material es\u00a0proporcional al\u00a0<\/strong>gradiente<\/strong>\u00a0negativo\u00a0en la temperatura<\/strong>\u00a0y al \u00e1rea, en \u00e1ngulo recto a ese gradiente, a trav\u00e9s del cual fluye el calor.<\/p>\n

\"Ley<\/a><\/p>\n

Un cambio en la energ\u00eda interna por unidad de volumen en el material, \u0394Q, es proporcional al cambio de temperatura, \u0394u.\u00a0Es decir:<\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/strong>p<\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/strong><\/p>\n

Forma general<\/strong><\/p>\n

Usando estas dos ecuaciones podemos derivar la ecuaci\u00f3n general de conducci\u00f3n de calor:<\/p>\n

\"Ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

Esta ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n se conoce como la\u00a0ecuaci\u00f3n de Fourier-Biot<\/strong>\u00a0, y proporciona la herramienta b\u00e1sica para el an\u00e1lisis de conducci\u00f3n de calor.\u00a0A partir de su soluci\u00f3n, podemos obtener el campo de temperatura en funci\u00f3n del tiempo.<\/p>\n

En palabras, la\u00a0ecuaci\u00f3n de conducci\u00f3n de calor<\/strong>\u00a0establece que:<\/p>\n

En cualquier punto del medio, la tasa neta de transferencia de energ\u00eda por conducci\u00f3n en un volumen unitario m\u00e1s la tasa volum\u00e9trica de generaci\u00f3n de energ\u00eda t\u00e9rmica debe ser igual a la tasa de cambio de energ\u00eda t\u00e9rmica almacenada dentro del volumen.<\/em><\/p>\n

Conductividad t\u00e9rmica constante<\/strong><\/p>\n

Esta ecuaci\u00f3n se puede reducir a\u00fan m\u00e1s suponiendo que la conductividad t\u00e9rmica sea constante e introduciendo la difusividad t\u00e9rmica, \u03b1 = k \/ \u03c1c\u00a0p<\/sub>\u00a0:<\/p>\n

\"ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

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Conductividad t\u00e9rmica constante y transferencia de calor en estado estable: ecuaci\u00f3n de Poisson<\/strong>A menudo son posibles simplificaciones adicionales de la forma general de la ecuaci\u00f3n de calor.\u00a0Por ejemplo, en condiciones de estado estable, no puede haber cambios en la cantidad de almacenamiento de energ\u00eda (\u2202T \/ \u2202t = 0).<\/p>\n

\"ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

Ecuaci\u00f3n de calor unidimensional<\/strong><\/p>\n

Una de las suposiciones m\u00e1s poderosas es que el caso especial de transferencia de calor unidimensional en la direcci\u00f3n x.\u00a0En este caso, las derivadas con respecto a y y z caen y las ecuaciones anteriores se reducen a (coordenadas cartesianas):<\/p>\n

\"ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Conducci\u00f3n de calor en coordenadas cil\u00edndricas y esf\u00e9ricas.<\/h2>\n

En ingenier\u00eda, hay muchos problemas que no se pueden resolver en coordenadas cartesianas.\u00a0Los\u00a0<\/strong>sistemas\u00a0<\/strong>cil\u00edndricos<\/strong>\u00a0y\u00a0esf\u00e9ricos<\/strong>\u00a0son muy comunes en t\u00e9rmica y especialmente en ingenier\u00eda de energ\u00eda.\u00a0La ecuaci\u00f3n de calor tambi\u00e9n se puede expresar en coordenadas cil\u00edndricas y esf\u00e9ricas.\u00a0La\u00a0ecuaci\u00f3n\u00a0general de conducci\u00f3n de calor<\/strong>\u00a0en\u00a0coordenadas cil\u00edndricas<\/strong>\u00a0puede obtenerse a partir de un balance de energ\u00eda en un elemento de volumen en coordenadas cil\u00edndricas y utilizando el\u00a0operador de Laplace, \u0394, en forma cil\u00edndrica y esf\u00e9rica<\/strong>\u00a0.<\/p>\n

Coordenadas cil\u00edndricas:<\/strong><\/p>\n

\"ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

Coordenadas esf\u00e9ricas<\/strong><\/p>\n

\"ecuaci\u00f3n<\/a><\/p>\n

La obtenci\u00f3n de soluciones anal\u00edticas para estas ecuaciones diferenciales requiere un conocimiento de las t\u00e9cnicas de soluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales parciales, que est\u00e1 m\u00e1s all\u00e1 del alcance de este texto.\u00a0Por otro lado, hay muchas simplificaciones y suposiciones que se pueden aplicar a estas ecuaciones y que conducen a resultados muy importantes.\u00a0En la siguiente secci\u00f3n, limitamos nuestra consideraci\u00f3n a casos de estado estacionario unidimensionales con conductividad t\u00e9rmica constante, ya que resultan en ecuaciones diferenciales ordinarias.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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L\u00edmite y condiciones iniciales<\/h2>\n

En cuanto a otra\u00a0ecuaci\u00f3n diferencial<\/strong>\u00a0, la soluci\u00f3n est\u00e1 dada por los\u00a0l\u00edmites<\/strong>\u00a0y\u00a0las condiciones iniciales<\/strong>\u00a0.\u00a0Con respecto a las condiciones de contorno, existen varias posibilidades comunes que simplemente se expresan en forma matem\u00e1tica.<\/p>\n

Debido a que la ecuaci\u00f3n de calor es de segundo orden en las coordenadas espaciales, para describir un problema de transferencia de calor por completo, se\u00a0deben dar\u00a0dos condiciones l\u00edmite\u00a0<\/strong>para cada direcci\u00f3n<\/strong>\u00a0del sistema de coordenadas a lo largo de la cual la transferencia de calor es significativa.\u00a0Por lo tanto, necesitamos especificar cuatro condiciones l\u00edmite para problemas bidimensionales y seis condiciones l\u00edmite para problemas tridimensionales.<\/p>\n

En la siguiente secci\u00f3n se resumen cuatro tipos de condiciones l\u00edmite com\u00fanmente encontradas en la transferencia de calor:<\/p>\n

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Conducci\u00f3n con generaci\u00f3n de calor.<\/span><\/h2>\n

\"Combustible<\/a>En la secci\u00f3n anterior consideramos\u00a0problemas de\u00a0<\/span>conducci\u00f3n t\u00e9rmica\u00a0<\/span><\/a>sin fuentes internas de calor<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Para estos problemas, la distribuci\u00f3n de temperatura en un medio se determin\u00f3 \u00fanicamente por las condiciones en los l\u00edmites del medio.\u00a0Pero en ingenier\u00eda a menudo podemos encontrar un problema, en el que las fuentes de calor internas son importantes y determinan la distribuci\u00f3n de temperatura junto con las condiciones de contorno.<\/span><\/p>\n

En\u00a0<\/span>ingenier\u00eda nuclear<\/span><\/strong><\/a>\u00a0, estos problemas son de la mayor importancia, ya que la mayor parte del calor generado en\u00a0<\/span>el combustible nuclear<\/span><\/a>\u00a0se libera dentro de los gr\u00e1nulos de combustible y la distribuci\u00f3n de temperatura est\u00e1 determinada principalmente por la distribuci\u00f3n de generaci\u00f3n de calor.\u00a0Tenga en cuenta que, como se puede ver en la descripci\u00f3n de los componentes individuales de la energ\u00eda energ\u00e9tica total liberada durante la reacci\u00f3n de fisi\u00f3n, se\u00a0<\/span>genera una cantidad significativa de energ\u00eda fuera del\u00a0<\/span><\/strong>combustible nuclear<\/span><\/strong><\/a>\u00a0(barras de combustible externas).\u00a0Especialmente la energ\u00eda cin\u00e9tica de los\u00a0<\/span>neutrones r\u00e1pidos<\/span><\/a>\u00a0se genera\u00a0<\/span>en<\/span><\/strong>\u00a0gran medida\u00a0en el refrigerante (\u00a0<\/strong><\/span>moderador<\/span><\/strong><\/a>\u00a0)<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Este fen\u00f3meno necesita ser incluido en los c\u00e1lculos nucleares.<\/span><\/p>\n

\"Energ\u00eda<\/a>
Fuentes de energ\u00eda t\u00e9rmica en la operaci\u00f3n de potencia del reactor de agua a presi\u00f3n.<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Para\u00a0<\/span>LWR<\/span><\/a>\u00a0, generalmente se acepta que\u00a0<\/span>aproximadamente el 2.5%<\/span><\/strong>\u00a0de la energ\u00eda total se recupera\u00a0<\/span>en el\u00a0<\/span>moderador<\/span><\/a><\/strong>\u00a0.\u00a0Esta fracci\u00f3n de energ\u00eda depende de los materiales, su disposici\u00f3n dentro del reactor y, por lo tanto, del tipo de reactor.<\/span><\/p>\n

Tenga en cuenta que la generaci\u00f3n de calor es un fen\u00f3meno volum\u00e9trico.\u00a0Es decir, ocurre en todo el cuerpo de un medio.\u00a0Por lo tanto, la tasa de generaci\u00f3n de calor en un medio generalmente se especifica por unidad de volumen y se denota por\u00a0<\/span>g\u00a0<\/span>V<\/span><\/sub>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span>3<\/span><\/sup>\u00a0]<\/span><\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

La distribuci\u00f3n de temperatura y, en consecuencia, el\u00a0<\/span>flujo de calor<\/span><\/strong><\/a>\u00a0est\u00e1 determinada principalmente por:<\/span><\/p>\n