{"id":52259,"date":"2020-02-17T14:54:45","date_gmt":"2020-02-17T13:54:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/quest-ce-que-lequation-thermique-equation-de-conduction-thermique-definition\/"},"modified":"2020-02-17T14:59:32","modified_gmt":"2020-02-17T13:59:32","slug":"quest-ce-que-lequation-thermique-equation-de-conduction-thermique-definition","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/fr\/quest-ce-que-lequation-thermique-equation-de-conduction-thermique-definition\/","title":{"rendered":"Qu’est-ce que l’\u00e9quation thermique – \u00c9quation de conduction thermique – D\u00e9finition"},"content":{"rendered":"
\n
L’\u00e9quation de conduction thermique est une \u00e9quation diff\u00e9rentielle partielle qui d\u00e9crit la r\u00e9partition de la chaleur (ou du champ de temp\u00e9rature) dans un corps donn\u00e9 dans le temps.\u00a0G\u00e9nie thermique<\/div>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\n
\n
<\/div>\n

\u00c9quation thermique – \u00c9quation de conduction thermique<\/h2>\n

\"Combustible<\/a>Dans les sections pr\u00e9c\u00e9dentes, nous avons trait\u00e9 en particulier du transfert de chaleur unidimensionnel \u00e0 l’\u00e9tat stable, qui peut \u00eatre caract\u00e9ris\u00e9 par la\u00a0loi<\/a>\u00a0de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0de la conduction thermique.\u00a0Mais son applicabilit\u00e9 est tr\u00e8s limit\u00e9e.\u00a0Cette loi suppose un transfert de chaleur en r\u00e9gime permanent \u00e0 travers un corps plan (notez que la loi de Fourier peut \u00e9galement \u00eatre d\u00e9riv\u00e9e pour des coordonn\u00e9es cylindriques et sph\u00e9riques),\u00a0sans source de chaleur<\/strong>\u00a0.\u00a0C’est simplement l’\u00e9quation de vitesse dans ce mode de transfert de chaleur, o\u00f9 le gradient de temp\u00e9rature est connu.<\/p>\n

Cependant, un probl\u00e8me majeur dans la plupart des analyses de conduction consiste \u00e0 d\u00e9terminer le\u00a0champ de temp\u00e9rature<\/strong>\u00a0dans un milieu r\u00e9sultant des conditions impos\u00e9es \u00e0 ses limites.\u00a0En ing\u00e9nierie, nous devons r\u00e9soudre des probl\u00e8mes de transfert de chaleur impliquant diff\u00e9rentes g\u00e9om\u00e9tries et diff\u00e9rentes conditions, telles qu’un \u00e9l\u00e9ment de combustible nucl\u00e9aire cylindrique impliquant une source de chaleur interne ou la paroi d’un confinement sph\u00e9rique.\u00a0Ces probl\u00e8mes sont plus complexes que les analyses planaires d\u00e9crites dans les sections pr\u00e9c\u00e9dentes.\u00a0Par cons\u00e9quent, ces probl\u00e8mes feront l\u2019objet de la pr\u00e9sente section, dans laquelle l\u2019\u00a0\u00e9quation de la conduction thermique<\/strong> sera introduite et r\u00e9solue.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n
\n

\u00c9quation g\u00e9n\u00e9rale de conduction thermique<\/span><\/h2>\n

L’\u00a0<\/span>\u00e9quation de conduction thermique<\/span><\/strong>\u00a0est une \u00e9quation diff\u00e9rentielle partielle qui d\u00e9crit la distribution de la\u00a0<\/span>chaleur<\/span><\/strong>\u00a0(ou le\u00a0<\/span>champ de temp\u00e9rature<\/span><\/strong>\u00a0) dans un corps donn\u00e9 au fil du temps.\u00a0Une connaissance d\u00e9taill\u00e9e du champ de temp\u00e9rature est tr\u00e8s importante dans la conduction thermique \u00e0 travers les mat\u00e9riaux.\u00a0Une fois cette distribution de temp\u00e9rature connue, le\u00a0<\/span>flux de chaleur de conduction<\/span><\/strong>\u00a0en tout point du mat\u00e9riau ou \u00e0 sa surface peut \u00eatre calcul\u00e9 \u00e0 partir de\u00a0<\/span>la loi<\/span><\/a>\u00a0de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0.<\/span><\/p>\n

L’\u00e9quation de la chaleur est\u00a0<\/span>d\u00e9riv\u00e9e<\/span><\/strong>\u00a0de\u00a0<\/span>la loi<\/span><\/strong>\u00a0de\u00a0Fourier<\/strong>\u00a0et de la\u00a0<\/span>conservation de l’\u00e9nergie<\/span><\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0La loi de Fourier stipule que le\u00a0<\/span>taux de transfert de chaleur \u00e0<\/span><\/strong>\u00a0travers un mat\u00e9riau est\u00a0<\/span>proportionnel au\u00a0<\/span><\/strong>gradient<\/span><\/strong>\u00a0n\u00e9gatif\u00a0de la temp\u00e9rature<\/strong>\u00a0et de la zone, perpendiculairement \u00e0 ce gradient, \u00e0 travers lequel la chaleur circule.<\/span><\/p>\n

\"Loi<\/a><\/p>\n

Un changement d’\u00e9nergie interne par unit\u00e9 de volume dans le mat\u00e9riau, \u0394Q, est proportionnel au changement de temp\u00e9rature, \u0394u.\u00a0C’est:<\/span><\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/span><\/strong>p<\/span><\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/span><\/strong><\/p>\n

Forme g\u00e9n\u00e9rale<\/span><\/strong><\/p>\n

En utilisant ces deux \u00e9quations, nous pouvons d\u00e9river l’\u00e9quation g\u00e9n\u00e9rale de conduction thermique:<\/span><\/p>\n

\"\u00c9quation<\/a><\/p>\n

Cette \u00e9quation est \u00e9galement connue sous le nom d’\u00a0<\/span>\u00e9quation de Fourier-Biot<\/span><\/strong>\u00a0et fournit l’outil de base pour l’analyse de conduction thermique.\u00a0A partir de sa solution, on peut obtenir le champ de temp\u00e9rature en fonction du temps.<\/span><\/p>\n

En d’autres termes, l’\u00a0<\/span>\u00e9quation de conduction thermique<\/span><\/strong>\u00a0indique que:<\/span><\/p>\n

En tout point du milieu, le taux net de transfert d’\u00e9nergie par conduction dans un volume unitaire plus le taux volum\u00e9trique de g\u00e9n\u00e9ration d’\u00e9nergie thermique doit \u00eatre \u00e9gal au taux de variation de l’\u00e9nergie thermique stock\u00e9e dans le volume.<\/span><\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\nConductivit\u00e9 thermique constante<\/span><\/strong>Cette \u00e9quation peut \u00eatre encore r\u00e9duite en supposant que la conductivit\u00e9 thermique est constante et en introduisant la diffusivit\u00e9 thermique, \u03b1 = k \/ \u03c1c\u00a0<\/span>p<\/span><\/sub>\u00a0:<\/span><\/p>\n
\n
\n
<\/div>\n

Conductivit\u00e9 thermique constante et transfert de chaleur en r\u00e9gime permanent – \u00c9quation de Poisson<\/span><\/strong>Des simplifications suppl\u00e9mentaires de la forme g\u00e9n\u00e9rale de l’\u00e9quation de la chaleur sont souvent possibles.\u00a0Par exemple, dans des conditions de r\u00e9gime permanent, il ne peut y avoir de changement dans la quantit\u00e9 de stockage d’\u00e9nergie (\u2202T \/ \u2202t = 0).<\/span><\/p>\n

\"\u00e9quation<\/a><\/p>\n

\u00c9quation de chaleur unidimensionnelle<\/span><\/strong><\/p>\n

L’une des hypoth\u00e8ses les plus puissantes est le cas particulier du transfert de chaleur unidimensionnel dans la direction x.\u00a0Dans ce cas, les d\u00e9riv\u00e9es par rapport \u00e0 y et z tombent et les \u00e9quations ci-dessus se r\u00e9duisent \u00e0 (coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes):<\/span><\/p>\n

\"\u00e9quation<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\n
<\/div>\n

Conduction de chaleur en coordonn\u00e9es cylindriques et sph\u00e9riques<\/span><\/h2>\n

En ing\u00e9nierie, il y a beaucoup de probl\u00e8mes qui ne peuvent pas \u00eatre r\u00e9solus en coordonn\u00e9es cart\u00e9siennes.\u00a0<\/span>Les\u00a0<\/span><\/strong>syst\u00e8mes\u00a0<\/span><\/strong>cylindriques<\/strong>\u00a0et\u00a0sph\u00e9riques<\/strong>\u00a0sont tr\u00e8s courants en thermique et en particulier en g\u00e9nie \u00e9lectrique.\u00a0L’\u00e9quation de la chaleur peut \u00e9galement \u00eatre exprim\u00e9e en coordonn\u00e9es cylindriques et sph\u00e9riques.\u00a0L’\u00a0\u00e9quation\u00a0<\/span>g\u00e9n\u00e9rale de la conduction thermique<\/span><\/strong>\u00a0en\u00a0<\/span>coordonn\u00e9es cylindriques<\/span><\/strong>\u00a0peut \u00eatre obtenue \u00e0 partir d’un bilan \u00e9nerg\u00e9tique sur un \u00e9l\u00e9ment de volume en coordonn\u00e9es cylindriques et en utilisant l’\u00a0<\/span>op\u00e9rateur de Laplace, \u0394, sous la forme cylindrique et sph\u00e9rique<\/span><\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Coordonn\u00e9es cylindriques:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"\u00e9quation<\/a><\/p>\n

Coordonn\u00e9es sph\u00e9riques:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"\u00e9quation<\/a><\/p>\n

L’obtention de solutions analytiques \u00e0 ces \u00e9quations diff\u00e9rentielles n\u00e9cessite une connaissance des techniques de r\u00e9solution des \u00e9quations diff\u00e9rentielles partielles, ce qui d\u00e9passe le cadre de ce texte.\u00a0D’un autre c\u00f4t\u00e9, il existe de nombreuses simplifications et hypoth\u00e8ses qui peuvent \u00eatre appliqu\u00e9es \u00e0 ces \u00e9quations et qui conduisent \u00e0 des r\u00e9sultats tr\u00e8s importants.\u00a0Dans la section suivante, nous limitons notre examen aux cas unidimensionnels \u00e0 l’\u00e9tat stationnaire avec une conductivit\u00e9 thermique constante, car ils entra\u00eenent des \u00e9quations diff\u00e9rentielles ordinaires.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\n
<\/div>\n

Conditions limites et initiales<\/span><\/h2>\n

Comme pour une\u00a0<\/span>autre \u00e9quation diff\u00e9rentielle<\/span><\/strong>\u00a0, la solution est donn\u00e9e par\u00a0les conditions aux\u00a0<\/strong><\/span>limites<\/span><\/strong>\u00a0et\u00a0<\/span>initiales<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0En ce qui concerne les conditions aux limites, il existe plusieurs possibilit\u00e9s communes qui sont simplement exprim\u00e9es sous forme math\u00e9matique.<\/span><\/p>\n

Parce que l’\u00e9quation de la chaleur est de second ordre dans les coordonn\u00e9es spatiales, pour d\u00e9crire compl\u00e8tement un probl\u00e8me de transfert de chaleur,\u00a0<\/span>deux conditions aux limites<\/span><\/strong>\u00a0doivent \u00eatre donn\u00e9es\u00a0<\/span>pour chaque direction<\/span><\/strong>\u00a0du syst\u00e8me de coordonn\u00e9es le long de laquelle le transfert de chaleur est significatif.\u00a0Par cons\u00e9quent, nous devons sp\u00e9cifier quatre conditions aux limites pour les probl\u00e8mes bidimensionnels et six conditions aux limites pour les probl\u00e8mes tridimensionnels.<\/span><\/p>\n

Quatre types de conditions aux limites couramment rencontr\u00e9es dans le transfert de chaleur sont r\u00e9sum\u00e9es dans la section suivante:<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n
\n
\n
\n

\"\u00e9quation<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n