{"id":51120,"date":"2020-01-24T11:02:32","date_gmt":"2020-01-24T10:02:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/o-que-e-equacao-de-calor-equacao-de-conducao-de-calor-definicao\/"},"modified":"2020-01-24T11:15:12","modified_gmt":"2020-01-24T10:15:12","slug":"o-que-e-equacao-de-calor-equacao-de-conducao-de-calor-definicao","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.thermal-engineering.org\/pt-br\/o-que-e-equacao-de-calor-equacao-de-conducao-de-calor-definicao\/","title":{"rendered":"O que \u00e9 Equa\u00e7\u00e3o de Calor – Equa\u00e7\u00e3o de Condu\u00e7\u00e3o de Calor – Defini\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"
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A equa\u00e7\u00e3o de condu\u00e7\u00e3o de calor \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o diferencial parcial que descreve a distribui\u00e7\u00e3o de calor (ou o campo de temperatura) em um determinado corpo ao longo do tempo.\u00a0Engenharia T\u00e9rmica<\/div>\n<\/div>\n
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Equa\u00e7\u00e3o de Calor – Equa\u00e7\u00e3o de Condu\u00e7\u00e3o de Calor<\/h2>\n

\"Combust\u00edvel<\/a>Nas se\u00e7\u00f5es anteriores, tratamos especialmente da transfer\u00eancia de calor unidimensional em estado estacion\u00e1rio, que pode ser caracterizada pela\u00a0lei<\/a>\u00a0de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0de condu\u00e7\u00e3o de calor.\u00a0Mas sua aplicabilidade \u00e9 muito limitada.\u00a0Esta lei pressup\u00f5e transfer\u00eancia de calor em estado estacion\u00e1rio atrav\u00e9s de um corpo plano (observe que a lei de Fourier tamb\u00e9m pode ser derivada para coordenadas cil\u00edndricas e esf\u00e9ricas),\u00a0sem fontes de calor<\/strong>\u00a0.\u00a0\u00c9 simplesmente a equa\u00e7\u00e3o da taxa neste modo de transfer\u00eancia de calor, onde o gradiente de temperatura \u00e9 conhecido.<\/p>\n

Mas um grande problema na maioria das an\u00e1lises de condu\u00e7\u00e3o \u00e9 determinar o\u00a0campo de temperatura<\/strong>\u00a0em um meio resultante das condi\u00e7\u00f5es impostas aos seus limites.\u00a0Na engenharia, temos que resolver problemas de transfer\u00eancia de calor envolvendo diferentes geometrias e condi\u00e7\u00f5es diferentes, como um elemento de combust\u00edvel nuclear cil\u00edndrico, que envolve fonte de calor interna ou a parede de uma conten\u00e7\u00e3o esf\u00e9rica.\u00a0Esses problemas s\u00e3o mais complexos do que as an\u00e1lises planares que fizemos nas se\u00e7\u00f5es anteriores.\u00a0Portanto, esses problemas ser\u00e3o o assunto desta se\u00e7\u00e3o, na qual a\u00a0equa\u00e7\u00e3o de condu\u00e7\u00e3o de calor<\/strong> ser\u00e1 introduzida e resolvida.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Equa\u00e7\u00e3o geral de condu\u00e7\u00e3o de calor<\/span><\/h2>\n

A\u00a0<\/span>equa\u00e7\u00e3o de condu\u00e7\u00e3o de calor<\/span><\/strong>\u00a0\u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o diferencial parcial que descreve a distribui\u00e7\u00e3o de\u00a0<\/span>calor<\/span><\/strong>\u00a0(ou o\u00a0<\/span>campo de temperatura<\/span><\/strong>\u00a0) em um determinado corpo ao longo do tempo.\u00a0O conhecimento detalhado do campo de temperatura \u00e9 muito importante na condu\u00e7\u00e3o t\u00e9rmica atrav\u00e9s de materiais.\u00a0Uma vez que essa distribui\u00e7\u00e3o de temperatura \u00e9 conhecida, o\u00a0<\/span>fluxo de calor de condu\u00e7\u00e3o<\/span><\/strong>\u00a0em qualquer ponto do material ou em sua superf\u00edcie pode ser calculado pela\u00a0<\/span>lei<\/span><\/a>\u00a0de\u00a0Fourier<\/a>\u00a0.<\/span><\/p>\n

A equa\u00e7\u00e3o do calor \u00e9\u00a0<\/span>derivada\u00a0<\/span><\/strong>da lei<\/span><\/strong>\u00a0de\u00a0Fourier<\/strong>\u00a0e da\u00a0<\/span>conserva\u00e7\u00e3o de energia<\/span><\/strong><\/a>\u00a0.\u00a0A lei de Fourier afirma que a\u00a0<\/span>taxa de<\/span><\/strong>\u00a0tempo\u00a0de transfer\u00eancia de calor<\/strong>\u00a0atrav\u00e9s de um material \u00e9\u00a0<\/span>proporcional ao\u00a0<\/span><\/strong>gradiente<\/span><\/strong>\u00a0negativo\u00a0na temperatura<\/strong>\u00a0e \u00e0 \u00e1rea, perpendicularmente \u00e0quele gradiente, atrav\u00e9s do qual o calor flui.<\/span><\/p>\n

\"Lei<\/a><\/p>\n

Uma mudan\u00e7a na energia interna por unidade de volume no material, \u0394Q, \u00e9 proporcional \u00e0 mudan\u00e7a na temperatura, \u0394u.\u00a0Isso \u00e9:<\/span><\/p>\n

\u2206Q = \u03c1.c\u00a0<\/span><\/strong>p<\/span><\/sub><\/strong>\u00a0.\u2206T<\/span><\/strong><\/p>\n

Forma geral<\/span><\/strong><\/p>\n

Usando essas duas equa\u00e7\u00f5es, podemos derivar a equa\u00e7\u00e3o geral de condu\u00e7\u00e3o de calor:<\/span><\/p>\n

\"Equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n

Essa equa\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m \u00e9 conhecida como\u00a0<\/span>equa\u00e7\u00e3o de Fourier-Biot<\/span><\/strong>\u00a0e fornece a ferramenta b\u00e1sica para an\u00e1lise de condu\u00e7\u00e3o de calor.\u00a0A partir de sua solu\u00e7\u00e3o, podemos obter o campo de temperatura em fun\u00e7\u00e3o do tempo.<\/span><\/p>\n

Em palavras, a\u00a0<\/span>equa\u00e7\u00e3o de condu\u00e7\u00e3o de calor<\/span><\/strong>\u00a0afirma que:<\/span><\/p>\n

Em qualquer ponto do meio, a taxa l\u00edquida de transfer\u00eancia de energia por condu\u00e7\u00e3o em um volume unit\u00e1rio mais a taxa volum\u00e9trica de gera\u00e7\u00e3o de energia t\u00e9rmica deve ser igual \u00e0 taxa de varia\u00e7\u00e3o da energia t\u00e9rmica armazenada dentro do volume.<\/span><\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Condutividade t\u00e9rmica constante<\/span><\/strong>Esta equa\u00e7\u00e3o pode ser ainda mais reduzida assumindo que a condutividade t\u00e9rmica seja constante e introduzindo a difusividade t\u00e9rmica, \u03b1 = k \/ \u03c1c\u00a0<\/span>p<\/span><\/sub>\u00a0:<\/span><\/p>\n

\"equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Condutividade t\u00e9rmica constante e transfer\u00eancia de calor em estado estacion\u00e1rio – equa\u00e7\u00e3o de Poisson<\/span><\/strong>Simplifica\u00e7\u00f5es adicionais da forma geral da equa\u00e7\u00e3o do calor s\u00e3o frequentemente poss\u00edveis.\u00a0Por exemplo, em condi\u00e7\u00f5es de estado estacion\u00e1rio, n\u00e3o pode haver altera\u00e7\u00e3o na quantidade de armazenamento de energia (\u2202T \/ \u2202t = 0).<\/span><\/p>\n

\"equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n

Equa\u00e7\u00e3o unidimensional de calor<\/span><\/strong><\/p>\n

Uma das suposi\u00e7\u00f5es mais poderosas \u00e9 que o caso especial de transfer\u00eancia de calor unidimensional na dire\u00e7\u00e3o x.\u00a0Nesse caso, as derivadas em rela\u00e7\u00e3o a ye z s\u00e3o eliminadas e as equa\u00e7\u00f5es acima se reduzem a (coordenadas cartesianas):<\/span><\/p>\n

\"equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Condu\u00e7\u00e3o de calor em coordenadas cil\u00edndricas e esf\u00e9ricas<\/span><\/h2>\n

Na engenharia, existem muitos problemas que n\u00e3o podem ser resolvidos em coordenadas cartesianas.\u00a0<\/span>Os\u00a0<\/span><\/strong>sistemas\u00a0<\/span><\/strong>cil\u00edndricos<\/strong>\u00a0e\u00a0esf\u00e9ricos<\/strong>\u00a0s\u00e3o muito comuns em engenharia t\u00e9rmica e, principalmente, em engenharia de energia.\u00a0A equa\u00e7\u00e3o do calor tamb\u00e9m pode ser expressa em coordenadas cil\u00edndricas e esf\u00e9ricas.\u00a0A\u00a0equa\u00e7\u00e3o\u00a0<\/span>geral de condu\u00e7\u00e3o de calor<\/span><\/strong>\u00a0em\u00a0<\/span>coordenadas cil\u00edndricas<\/span><\/strong>\u00a0pode ser obtida a partir de um balan\u00e7o de energia em um elemento de volume em coordenadas cil\u00edndricas e usando o\u00a0<\/span>operador Laplace, \u0394, na forma cil\u00edndrica e esf\u00e9rica<\/span><\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

Coordenadas cil\u00edndricas:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n

Coordenadas esf\u00e9ricas:<\/span><\/strong><\/p>\n

\"equa\u00e7\u00e3o<\/a><\/p>\n

A obten\u00e7\u00e3o de solu\u00e7\u00f5es anal\u00edticas para essas equa\u00e7\u00f5es diferenciais requer um conhecimento das t\u00e9cnicas de solu\u00e7\u00e3o de equa\u00e7\u00f5es diferenciais parciais, que est\u00e3o al\u00e9m do escopo deste texto.\u00a0Por outro lado, existem muitas simplifica\u00e7\u00f5es e suposi\u00e7\u00f5es que podem ser aplicadas a essas equa\u00e7\u00f5es e que levam a resultados muito importantes.\u00a0Na pr\u00f3xima se\u00e7\u00e3o, limitamos nossa considera\u00e7\u00e3o a casos unidimensionais de estado estacion\u00e1rio com condutividade t\u00e9rmica constante, uma vez que resultam em equa\u00e7\u00f5es diferenciais ordin\u00e1rias.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Limite e condi\u00e7\u00f5es iniciais<\/span><\/h2>\n

Quanto a outra\u00a0<\/span>equa\u00e7\u00e3o diferencial<\/span><\/strong>\u00a0, a solu\u00e7\u00e3o \u00e9 dada por\u00a0condi\u00e7\u00f5es de\u00a0<\/strong><\/span>contorno<\/span><\/strong>\u00a0e\u00a0<\/span>iniciais<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0No que diz respeito \u00e0s condi\u00e7\u00f5es de contorno, existem v\u00e1rias possibilidades comuns que s\u00e3o simplesmente expressas em forma matem\u00e1tica.<\/span><\/p>\n

Como a equa\u00e7\u00e3o do calor \u00e9 de segunda ordem nas coordenadas espaciais, para descrever completamente um problema de transfer\u00eancia de calor,\u00a0<\/span>duas condi\u00e7\u00f5es de contorno<\/span><\/strong>\u00a0devem ser dadas\u00a0<\/span>para cada dire\u00e7\u00e3o<\/span><\/strong>\u00a0do sistema de coordenadas ao longo do qual a transfer\u00eancia de calor \u00e9 significativa.\u00a0Portanto, precisamos especificar quatro condi\u00e7\u00f5es de contorno para problemas bidimensionais e seis condi\u00e7\u00f5es de contorno para problemas tridimensionais.<\/span><\/p>\n

Quatro tipos de condi\u00e7\u00f5es de contorno comumente encontradas na transfer\u00eancia de calor s\u00e3o resumidas na se\u00e7\u00e3o a seguir:<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Condu\u00e7\u00e3o com gera\u00e7\u00e3o de calor<\/span><\/h2>\n

\"Combust\u00edvel<\/a>Na se\u00e7\u00e3o anterior, consideramos\u00a0problemas de\u00a0<\/span>condu\u00e7\u00e3o t\u00e9rmica\u00a0<\/span><\/a>sem fontes de calor internas<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Para esses problemas, a distribui\u00e7\u00e3o de temperatura em um meio foi determinada apenas por condi\u00e7\u00f5es nos limites do meio.\u00a0Por\u00e9m, na engenharia, muitas vezes podemos encontrar um problema, no qual as fontes internas de calor s\u00e3o significativas e determinam a distribui\u00e7\u00e3o de temperatura juntamente com as condi\u00e7\u00f5es de contorno.<\/span><\/p>\n

Na\u00a0<\/span>engenharia nuclear<\/span><\/strong><\/a>\u00a0, esses problemas s\u00e3o da maior import\u00e2ncia, uma vez que a maior parte do calor gerado no\u00a0<\/span>combust\u00edvel nuclear<\/span><\/a>\u00a0\u00e9 liberada dentro dos pellets de combust\u00edvel e a distribui\u00e7\u00e3o da temperatura \u00e9 determinada principalmente pela distribui\u00e7\u00e3o da gera\u00e7\u00e3o de calor.\u00a0Observe que, como pode ser visto na descri\u00e7\u00e3o dos componentes individuais da energia total liberada durante a rea\u00e7\u00e3o de fiss\u00e3o, h\u00e1\u00a0<\/span>uma quantidade significativa de energia gerada fora do\u00a0<\/span><\/strong>combust\u00edvel nuclear<\/span><\/strong><\/a>\u00a0(barras de combust\u00edvel externas).\u00a0Especialmente a energia cin\u00e9tica dos\u00a0<\/span>n\u00eautrons imediatos<\/span><\/a>\u00a0\u00e9 amplamente gerada\u00a0<\/span>no refrigerante (\u00a0<\/span><\/strong>moderador<\/span><\/strong><\/a>\u00a0)<\/span><\/strong>\u00a0.\u00a0Esse fen\u00f4meno precisa ser inclu\u00eddo nos c\u00e1lculos nucleares.<\/span><\/p>\n

\"Energia<\/a>
Fontes de energia t\u00e9rmica na opera\u00e7\u00e3o de energia do reator de \u00e1gua pressurizada<\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Para\u00a0<\/span>LWR<\/span><\/a>\u00a0, \u00e9 geralmente aceito que\u00a0<\/span>cerca de 2,5%<\/span><\/strong>\u00a0da energia total \u00e9 recuperada\u00a0<\/span>no\u00a0<\/span>moderador<\/span><\/a><\/strong>\u00a0.\u00a0Essa fra\u00e7\u00e3o de energia depende dos materiais, sua disposi\u00e7\u00e3o dentro do reator e, portanto, do tipo de reator.<\/span><\/p>\n

Observe que a gera\u00e7\u00e3o de calor \u00e9 um fen\u00f4meno volum\u00e9trico.\u00a0Ou seja, ocorre em todo o corpo de um meio.\u00a0Portanto, a taxa de gera\u00e7\u00e3o de calor em um meio \u00e9 geralmente especificada por unidade de volume e \u00e9 denotada por\u00a0<\/span>g\u00a0<\/span>V<\/span><\/sub>\u00a0[W \/ m\u00a0<\/span>3<\/span><\/sup>\u00a0]<\/span><\/strong>\u00a0.<\/span><\/p>\n

A distribui\u00e7\u00e3o da temperatura e, consequentemente, o\u00a0<\/span>fluxo de calor<\/span><\/strong><\/a>\u00a0s\u00e3o determinados principalmente por:<\/span><\/p>\n