Modele turbulencji w dynamice płynów: 6 typów, jak działają, ich zastosowania i znaczenie w projektowaniu systemów termicznych oraz inżynierii cieplnej.
6 Typów Modeli Turbulencji w Dynamice Płynów
Turbulencja to jedno z najbardziej złożonych i fascynujących zjawisk w dynamice płynów. Aby lepiej ją zrozumieć i przewidzieć jej zachowanie, inżynierowie i naukowcy stosują różne modele. Poniżej przedstawiamy sześć popularnych typów modeli turbulencji używanych w dynamice płynów.
1. Model Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS)
RANS to jeden z najczęściej używanych modeli do analizy turbulencji. W tym podejściu równania Naviera-Stokesa są uśredniane w czasie, co pozwala na oddzielenie wartości średnich od fluktuacji turbulencyjnych. Równania RANS wyglądają następująco:
\(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = – \frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} – \frac{\partial \overline{u_i’ u_j’}}{\partial x_j}\)
Gdzie:
- \(\overline{u_i}\) – średnia prędkość w kierunku i
- \(\overline{u_i’ u_j’}\) – tensor napięć Reynolds’a, który modeluje wpływ fluktuacji turbulencyjnych
2. Model Large Eddy Simulation (LES)
LES jest bardziej zaawansowanym modelem, który symuluje duże wiry (eddy) bezpośrednio, podczas gdy mniejsze fluktuacje są modelowane. Równania używane w LES wyglądają podobnie do RANS, ale filtracja przestrzenna jest tutaj kluczowym aspektem:
\(\frac{\partial \overline{u_i}}{\partial t} + \overline{u_j} \frac{\partial \overline{u_i}}{\partial x_j} = – \frac{1}{\rho} \frac{\partial \overline{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \overline{u_i}}{\partial x_j^2} – \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}\)
\(\tau_{ij}\) to podsiatkowy tensor grudek, który modeluje wpływ małych wirów na przepływ.
3. Model Direct Numerical Simulation (DNS)
DNS to najbardziej precyzyjna metoda modelowania turbulencji, która rozwiązuje wszystkie skale turbulentne bez żadnej aproksymacji. Jednakże jest bardzo kosztowna obliczeniowo, dlatego stosowana jest głównie w prostych konfiguracjach lub w celach badawczych. Równania Naviera-Stokesa są tutaj rozwiązywane bez uśredniania:
\(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = – \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j^2}\)
4. Model \(k-\epsilon\)
Model \(k-\epsilon\) jest bardzo popularny w inżynierii z powodu jego prostoty i uniwersalności. Składa się z dwóch transportowych równań różniczkowych: jedno dla energii kinetycznej turbulencji \(k\), a drugie dla jej dyssypacji \(ε\):
\(\frac{\partial k}{\partial t} + u_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P_k – \epsilon + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(ν + \frac{ν_t}{σ_k}) \frac{\partial k}{\partial x_j}\right]\)
\(\frac{\partial \epsilon}{\partial t} + u_j \frac{\partial \epsilon}{\partial x_j} = C_{ε1} \frac{ε}{k} P_k – C_{ε2} \frac{ε^2}{k} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(ν + \frac{ν_t}{σ_ε}) \frac{\partial ε}{\partial x_j}\right]\)
5. Model \(k-\omega\)
Model \(k-\omega\) jest podobny do modelu \(k-\epsilon\), ale zamiast równania dla dyssypacji energii \(ε\), używa równania dla specyficznej stopy dyssypacji \(ω\):
\(\frac{\partial k}{\partial t} + u_j \frac{\partial k}{\partial x_j} = P_k – β*kω + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(ν + ν_t) \frac{\partial k}{\partial x_j}\right]\)
\(\frac{\partial ω}{\partial t} + u_j \frac{\partial ω}{\partial x_j} = α \frac{ω}{k} P_k – βω^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[(ν + ν_t) \frac{\partial ω}{\partial x_j}\right]\)
6. Spalart-Allmaras
Ten model jest jednorównaniowym modelem turbulencji, zaprojektowanym specjalnie dla obliczeniowej mechaniki płynów w aerodynamice. Jest on prostszy niż modele \(k-\epsilon\) i \(k-\omega\), ale nadal oferuje dobrą dokładność w wielu zastosowaniach inżynierskich.
Podstawowe równanie tego modelu to:
\(\frac{\partial \tilde{ν}}{\partial t} + u_j \frac{\partial \tilde{ν}}{\partial x_j} = C_{b1} (1-f_{t2}) S \tilde{ν} + \frac{1}{σ} \left\{\frac{\partial}{\partial x_j} \left[ (ν + \tilde{ν}) \frac{\partial \tilde{ν}}{\partial x_j} \right] + C_{b2} \frac{\partial \tilde{ν}}{\partial x_j} \frac{\partial \tilde{ν}}{\partial x_j}\right\} – C_{w1} f_w \left( \frac{\tilde{ν}}{d} \right)^2 \)
Gdzie \(\tilde{ν}\) jest zmienną roboczą związanej z turbulentną lepkością.
Podsumowanie
Wybór odpowiedniego modelu turbulencji zależy od specyficznych wymagań problemu oraz dostępnych zasobów obliczeniowych. Różne modele oferują różne kompromisy między dokładnością, złożonością i kosztami obliczeniowymi. Znajomość tych modeli jest kluczowa dla każdego inżyniera zajmującego się dynamiką płynów.