Exemplo de equação de calor – Problema com solução – Definição

Calcule a distribuição de temperatura, T (x), através dessa parede plana e espessa, se:

• as temperaturas em ambas as superfícies são 15,0 ° C
• a espessura desta parede é 2L = 10 mm.
• a condutividade dos materiais é k = 2,8 W / mK (corresponde ao dióxido de urânio a 1000 ° C)
• a taxa de calor volumétrico é q _V = 10 ⁶ W / m ³

Nesse caso, as superfícies são mantidas em determinadas temperaturas T _{s, 1} e T _{s, 2} . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet . Além disso, esse problema é termicamente simétrico e, portanto, também podemos usar a condição de contorno de simetria térmica . As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

A distribuição de temperatura resultante e a temperatura da linha central (x = 0) (máxima) nesta parede plana nessas condições de contorno específicas serão:

O fluxo de calor em qualquer ponto, q _x [Wm ^-2 ], na parede pode, é claro, ser determinado usando a distribuição de temperatura e com a lei de Fourier . Observe que, com a geração de calor, o fluxo de calor não é mais independente de x, portanto:

Exemplo de equação de calor – Problema com solução

Condução de calor em uma barra de combustível

A maioria dos PWRs usa o combustível de urânio , que está na forma de dióxido de urânio . O dióxido de urânio é um sólido semicondutor preto com condutividade térmica muito baixa. Por outro lado, o dióxido de urânio tem um ponto de fusão muito alto e um comportamento bem conhecido. A UO ₂ é prensada em pastilhas cilíndricas , essas pastilhas são então sinterizadas no sólido.

Esses pellets cilíndricos são então carregados e encapsulados dentro de uma barra de combustível (ou pino de combustível), feita de ligas de zircônio devido à sua seção transversal de absorção muito baixa (ao contrário do aço inoxidável). A superfície do tubo, que cobre os pellets, é chamada de revestimento de combustível .

Veja também:  Condução térmica de dióxido de urânio

O comportamento térmico e mecânico dos pellets  e barras de combustível constitui uma das três principais disciplinas do projeto. O combustível nuclear é operado sob condições muito inóspitas (térmica, radiação, mecânica) e deve suportar mais do que as condições normais de operação. Por exemplo, as temperaturas no centro dos pellets de combustível atingem mais de 1000 ° C (1832 ° F) acompanhadas por liberações de gás de fissão. Portanto, o conhecimento detalhado da distribuição de temperatura em uma única barra de combustível é essencial para a operação segura do combustível nuclear. Nesta seção, estudaremos a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricasusando a condição limite de Dirichlet com determinada temperatura da superfície (ou seja, usando a condição limite de Dirichlet). A análise abrangente do perfil de temperatura da barra de combustível será estudada em seção separada.

Temperatura na linha central de um pellet de combustível

Considere o pellet de combustível com raio r _U = 0,40 cm , no qual há geração uniforme e constante de calor por unidade de volume, q _V [W / m ³ ] . Em vez da taxa de calor volumétrica q _V [W / m ³ ], os engenheiros costumam usar a taxa de calor linear, q _L [W / m] , que representa a taxa de calor de um metro da barra de combustível. A taxa linear de calor pode ser calculada a partir da taxa volumétrica de calor por:

A linha central é tomada como a origem da coordenada r. Devido à simetria na direção z e na direção azimutal, podemos separar as variáveis ​​e simplificar esse problema para um problema unidimensional . Assim, resolveremos apenas a temperatura em função do raio T (r) . Para condutividade térmica constante , k, a forma apropriada da equação de calor cilíndrica é:

A solução geral desta equação é:

onde C ₁ e C ₂ são as constantes de integração.

Calcule a distribuição de temperatura, T (r) , neste sedimento de combustível, se:

• as temperaturas na superfície do sedimento de combustível são T _U = 420 ° C
• raio da pastilha de combustível r _U = 4 mm .
• a condutividade média do material é k = 2,8 W / mK (corresponde ao dióxido de urânio a 1000 ° C)
• a taxa de calor linear é q _L = 300 W / cm e, portanto, a taxa de calor volumétrica é q _V = 597 x 10 ⁶ W / m ³

Neste caso, a superfície é mantida a temperaturas dadas T _U . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet . Além disso, esse problema é termicamente simétrico e, portanto, também podemos usar a condição de contorno de simetria térmica . As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

A distribuição de temperatura resultante e a temperatura da linha central (r = 0) (máxima) neste sedimento cilíndrico de combustível nessas condições de contorno específicas serão:

O fluxo de calor radial em qualquer raio, q _r [Wm ^-1 ], no cilindro pode, é claro, ser determinado usando a distribuição de temperatura e com a lei de Fourier . Observe que, com a geração de calor, o fluxo de calor não é mais independente de r.

A figura a seguir mostra a distribuição de temperatura no pellet de combustível em vários níveis de potência.

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A temperatura em um reator operacional varia de ponto a ponto dentro do sistema. Como consequência, há sempre uma vara de combustível e um volume local , que está mais quente  do que todo o resto. Para limitar esses locais quentes, os limites de potência máxima devem ser introduzidos. Os limites de potência máxima estão associados a uma crise de ebulição e às condições que podem causar o derretimento do pellet de combustível. No entanto, considerações metalúrgicas impõem limites superiores à temperatura do revestimento do combustível e do sedimento de combustível. Acima dessas temperaturasexiste o perigo de o combustível ser danificado. Um dos principais objetivos no projeto de reatores nucleares é fornecer a remoção do calor produzido no nível de potência desejado, garantindo que a temperatura máxima do combustível e a temperatura máxima do revestimento estejam sempre abaixo desses valores predeterminados.

Distribuição de temperatura no revestimento de combustível

O  revestimento é a camada externa das barras de combustível, situada entre o líquido de arrefecimento do  reator  e o  combustível nuclear  (isto é,  granulados de combustível ). É feito de um material resistente à corrosão com seção transversal de baixa absorção para nêutrons térmicos, geralmente  liga de zircônio . O revestimento  evita que produtos de fissão radioativa escapem da matriz de combustível para o líquido de arrefecimento do reator e os contaminem. O revestimento constitui uma das barreiras na abordagem de ‘ defesa em profundidade ‘.

Considere o revestimento de combustível do raio interno  r _{Zr, 2}  = 0,408 cm  e raio externo  r _{Zr, 1}  = 0,465 cm . Em comparação com o pellet de combustível, quase não há geração de calor no revestimento do combustível (o revestimento é  levemente aquecido pela radiação ). Todo o calor gerado no combustível deve ser transferido por  condução  através do revestimento e, portanto, a superfície interna é mais quente que a superfície externa.

Para encontrar a distribuição de temperatura através do revestimento, precisamos resolver a  equação de condução de calor . Devido à simetria na direção z e na direção azimutal, podemos separar as variáveis ​​e simplificar esse problema para um problema unidimensional. Assim, resolveremos apenas a temperatura em função do raio T (r). Neste exemplo, assumiremos que não há estritamente nenhuma geração de calor dentro do revestimento. Para condutividade térmica constante, k, a forma apropriada da equação de calor cilíndrica é:

A solução geral desta equação é:

onde C ₁  e C ₂  são as constantes de integração.

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Calcule a distribuição de temperatura, T (r), neste revestimento de combustível, se:

• a temperatura na superfície interna do revestimento é T _{Zr, 2}  = 360 ° C
• a temperatura do líquido de arrefecimento do reator nesta coordenada axial é T a _granel  = 300 ° C
• o coeficiente de transferência de calor (convecção; fluxo turbulento) é h = 41 kW / m ² .K.
• a condutividade média do material é k = 18 W / mK
• a taxa linear de calor do combustível é q _L  = 300 W / cm e, portanto, a taxa volumétrica de calor é q _V  = 597 x 10 ⁶  W / m ³

A partir da relação básica para transferência de calor por convecção, podemos calcular a superfície externa do revestimento como:

Como pode ser visto, também neste caso, fornecemos temperaturas de superfície T _{Zr, 1}  e T _{Zr, 2} . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet. As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

Resolvendo C ₁  e C ₂  e substituindo na solução geral, obtemos então:

∆T – superfície de revestimento – refrigerante

O conhecimento detalhado da geometria, raio externo do revestimento, taxa de calor linear, coeficiente de transferência de calor por convecção e temperatura do líquido de refrigeração determina  ∆T  entre o líquido de arrefecimento (T a _granel ) e a superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ). Portanto, podemos calcular a temperatura da superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ) simplesmente usando a  Lei de Newton :

∆T no revestimento do combustível

O conhecimento detalhado da geometria, raio externo e interno do revestimento, taxa de calor linear e temperatura da superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ) determina  ∆T  entre as superfícies externa e interna do revestimento. Portanto, podemos calcular a temperatura da superfície interna do revestimento (T _{Zr, 2} ) simplesmente usando a  Lei de Fourier :