Was ist ein Beispiel für eine Wärmegleichung – Problem mit der Lösung – Definition

Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (x) durch diese dicke ebene Wand, wenn:

• Die Temperaturen an beiden Oberflächen betragen 15,0 ° C.
• Die Dicke dieser Wand beträgt 2L = 10 mm.
• Die Materialleitfähigkeit beträgt k = 2,8 W / mK (entspricht Urandioxid bei 1000 ° C).
• Die volumetrische Heizrate beträgt q _V = 10 ⁶ W / m ³

In diesem Fall werden die Oberflächen bei gegebenen Temperaturen T _{s, 1} und T _{s, 2 gehalten} . Dies entspricht der Dirichlet-Randbedingung . Darüber hinaus ist dieses Problem thermisch symmetrisch und daher können wir auch die thermische Symmetrie-Randbedingung verwenden . Die Konstanten können durch Substitution in die allgemeine Lösung bewertet werden und haben die Form:

Die resultierende Temperaturverteilung und die Mittellinientemperatur (x = 0) (Maximum) in dieser ebenen Wand bei diesen spezifischen Randbedingungen sind:

Der Wärmefluss an jedem Punkt q _x [Wm ^-2 ] in der Wand kann natürlich unter Verwendung der Temperaturverteilung und nach dem Fourier-Gesetz bestimmt werden . Beachten Sie, dass mit der Wärmeerzeugung der Wärmefluss nicht mehr unabhängig von x ist, daher:

Beispiel einer Wärmegleichung – Problem mit der Lösung

Wärmeleitung in einem Brennstab

Die meisten PWRs verwenden den Uranbrennstoff , der in Form von Urandioxid vorliegt . Urandioxid ist ein schwarzer halbleitender Feststoff mit sehr geringer Wärmeleitfähigkeit. Andererseits hat das Urandioxid einen sehr hohen Schmelzpunkt und ein bekanntes Verhalten. Das UO ₂ wird zu zylindrischen Pellets gepresst , diese Pellets werden dann in den Feststoff gesintert.

Diese zylindrischen Pellets werden dann in einem Brennstab (oder Brennstoff pin) geladen und eingekapselt, die aus Zirconium – Legierungen sind aufgrund seines sehr geringen Absorptionsquerschnittes (im Unterschied zu dem rostfreien Stahl). Die Oberfläche des Rohrs, die die Pellets bedeckt, wird als Brennstoffmantel bezeichnet .

Siehe auch:  Wärmeleitung von Urandioxid

Das thermische und mechanische Verhalten von Brennstoffpellets  und Brennstäben bildet eine von drei zentralen Konstruktionsdisziplinen. Kernbrennstoff wird unter sehr unwirtlichen Bedingungen (thermisch, strahlend, mechanisch) betrieben und muss mehr als normalen Betriebsbedingungen standhalten. Beispielsweise erreichen die Temperaturen in der Mitte von Brennstoffpellets mehr als 1000 ° C (1832 ° F), begleitet von Spaltgasfreisetzungen. Daher ist eine detaillierte Kenntnis der Temperaturverteilung innerhalb eines einzelnen Brennstabs für den sicheren Betrieb von Kernbrennstoff unerlässlich. In diesem Abschnitt werden wir die Wärmeleitungsgleichung in Zylinderkoordinaten untersuchenunter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung bei gegebener Oberflächentemperatur (dh unter Verwendung der Dirichlet-Randbedingung). Eine umfassende Analyse des Brennstabtemperaturprofils wird in einem separaten Abschnitt untersucht.

Temperatur in der Mittellinie eines Brennstoffpellets

Betrachten Sie das Brennstoffpellet mit dem Radius r _U = 0,40 cm , bei dem eine gleichmäßige und konstante Wärmeerzeugung pro Volumeneinheit q _V [W / m ³ ] erfolgt . Anstelle der volumetrischen Heizrate q _V [W / m ³ ] verwenden Ingenieure häufig die lineare Heizrate q _L [W / m] , die die Heizrate eines Meters Brennstab darstellt. Die lineare Heizrate kann aus der volumetrischen Heizrate berechnet werden durch:

Die Mittellinie wird als Ursprung für die r-Koordinate verwendet. Aufgrund der Symmetrie in z-Richtung und in azimutaler Richtung können wir Variablen trennen und dieses Problem zu einem eindimensionalen Problem vereinfachen . Wir werden also nur nach der Temperatur als Funktion des Radius T (r) suchen. Für eine konstante Wärmeleitfähigkeit ist k, die geeignete Form der zylindrischen Wärmegleichung ,:

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:

wobei C ₁ und C ₂ die Integrationskonstanten sind.

Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (r) in diesem Brennstoffpellet, wenn:

• Die Temperaturen an der Oberfläche des Brennstoffpellets betragen T _U = 420 ° C.
• der Brennstoffpelletradius r _U = 4 mm .
• Die Leitfähigkeit des gemittelten Materials beträgt k = 2,8 W / mK (entspricht Urandioxid bei 1000 ° C).
• Die lineare Heizrate beträgt q _L = 300 W / cm und somit beträgt die volumetrische Heizrate q _V = 597 × 10 ⁶ W / m ³

In diesem Fall wird die Oberfläche bei gegebenen Temperaturen T _{U gehalten} . Dies entspricht der Dirichlet-Randbedingung . Darüber hinaus ist dieses Problem thermisch symmetrisch und daher können wir auch die thermische Symmetrie-Randbedingung verwenden . Die Konstanten können durch Substitution in die allgemeine Lösung bewertet werden und haben die Form:

Die resultierende Temperaturverteilung und die Mittellinientemperatur (r = 0) (maximal) in diesem zylindrischen Brennstoffpellet bei diesen spezifischen Randbedingungen sind:

Der radiale Wärmefluss bei jedem Radius q _r [Wm ^-1 ] im Zylinder kann natürlich unter Verwendung der Temperaturverteilung und nach dem Fourier-Gesetz bestimmt werden . Beachten Sie, dass mit der Wärmeerzeugung der Wärmefluss nicht mehr unabhängig von r ist.

Die folgende Abbildung zeigt die Temperaturverteilung im Brennstoffpellet bei verschiedenen Leistungsstufen.

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Die Temperatur in einem Betriebsreaktor variiert von Punkt zu Punkt innerhalb des Systems. Infolgedessen gibt es immer einen Brennstab und ein lokales Volumen , die heißer sind  als alle anderen. Um diese heißen Orte zu begrenzen, müssen die Spitzenleistungsgrenzen eingeführt werden. Die Spitzenleistungsgrenzen sind mit einer Siedekrise und mit den Bedingungen verbunden, die eine Brennstoffpelletschmelze verursachen können. Metallurgische Überlegungen begrenzen jedoch die Temperatur des Brennstoffmantels und des Brennstoffpellets nach oben. Über diesen TemperaturenEs besteht die Gefahr, dass der Kraftstoff beschädigt wird. Eines der Hauptziele bei der Auslegung eines Kernreaktors besteht darin, die Wärmeabfuhr bei der gewünschten Leistung zu gewährleisten und gleichzeitig sicherzustellen, dass die maximale Brennstofftemperatur und die maximale Plattiertemperatur immer unter diesen vorgegebenen Werten liegen.

Temperaturverteilung im Kraftstoffmantel

Die Ummantelung  ist die äußere Schicht der Brennstäbe, die zwischen dem  Reaktorkühlmittel  und dem  Kernbrennstoff  (dh  Brennstoffpellets ) steht. Es besteht aus einem korrosionsbeständigen Material mit geringem Absorptionsquerschnitt für thermische Neutronen, üblicherweise einer  Zirkoniumlegierung . Die Ummantelung  verhindert, dass radioaktive Spaltprodukte aus der Brennstoffmatrix in das Reaktorkühlmittel entweichen und dieses verunreinigen. Die Verkleidung ist eines der Hindernisse beim Ansatz der Tiefenverteidigung .

Betrachten Sie den Kraftstoffmantel mit Innenradius  r _{Zr, 2}  = 0,408 cm  und Außenradius  r _{Zr, 1}  = 0,465 cm . Im Vergleich zu Brennstoffpellets gibt es im Brennstoffmantel fast keine Wärmeerzeugung (der Mantel wird  durch Strahlung leicht erwärmt ). Die gesamte im Kraftstoff erzeugte Wärme muss über die  Leitung  durch die Ummantelung übertragen werden. Daher ist die Innenfläche heißer als die Außenfläche.

Um die Temperaturverteilung durch die Ummantelung zu ermitteln, müssen wir die  Wärmeleitungsgleichung lösen . Aufgrund der Symmetrie in z-Richtung und in azimutaler Richtung können wir Variablen trennen und dieses Problem zu einem eindimensionalen Problem vereinfachen. Wir werden also nur nach der Temperatur als Funktion des Radius T (r) suchen. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass innerhalb der Ummantelung streng genommen keine Wärme erzeugt wird. Für eine konstante Wärmeleitfähigkeit ist k, die geeignete Form der zylindrischen Wärmegleichung ,:

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:

wobei C ₁  und C ₂  die Integrationskonstanten sind.

1)

Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (r) in dieser Kraftstoffhülle, wenn:

• Die Temperatur an der Innenfläche der Ummantelung beträgt T _{Zr, 2}  = 360 ° C.
• Die Temperatur des Reaktorkühlmittels an dieser axialen Koordinate beträgt T _Volumen  = 300 ° C.
• Der Wärmeübergangskoeffizient (Konvektion; turbulente Strömung) beträgt h = 41 kW / m ² .K.
• Die Leitfähigkeit des gemittelten Materials beträgt k = 18 W / mK
• Die lineare Heizrate des Brennstoffs beträgt q _L  = 300 W / cm und somit beträgt die volumetrische Heizrate q _V  = 597 × 10 ⁶  W / m ³

Aus der Grundbeziehung für die Wärmeübertragung durch Konvektion können wir die äußere Oberfläche der Ummantelung berechnen als:

Wie zu sehen ist, haben wir auch in diesem Fall Oberflächentemperaturen T _{Zr, 1}  und T _{Zr, 2 angegeben} . Dies entspricht der Dirichlet-Randbedingung. Die Konstanten können durch Substitution in die allgemeine Lösung bewertet werden und haben die Form:

Wenn wir nach C ₁  und C ₂ auflösen  und in die allgemeine Lösung einsetzen, erhalten wir:

∆T – Verkleidungsfläche – Kühlmittel

Detaillierte Kenntnisse der Geometrie, des Außenmantelradius, der linearen Heizrate, des konvektiven Wärmeübergangskoeffizienten und der Kühlmitteltemperatur bestimmen  ∆T  zwischen dem Kühlmittel (T _Bulk ) und der Manteloberfläche (T _{Zr, 1} ). Daher können wir die Manteloberflächentemperatur (T _{Zr, 1} ) einfach nach dem  Newtonschen Gesetz berechnen :

∆T in der Kraftstoffverkleidung

Detaillierte Kenntnisse der Geometrie, des äußeren und inneren Radius der Verkleidung, der linearen Heizrate und der Temperatur der Verkleidungsoberfläche (T _{Zr, 1} ) bestimmen  ∆T  zwischen der äußeren und der inneren Oberfläche der Verkleidung. Daher können wir die Oberflächentemperatur des inneren Mantels (T _{Zr, 2} ) einfach nach dem  Fourier-Gesetz berechnen :