El ejemplo – ecuación de calor – Problema con la solución: definición

Considere la pared plana de espesor 2L, en la cual hay una generación de calor uniforme y constante por unidad de volumen, q _V [W / m ³ ] . El plano central se toma como el origen de x y la losa se extiende a + L a la derecha y – L a la izquierda. Para la conductividad térmica constante k, la forma apropiada de la ecuación de calor es:

La solución general de esta ecuación es:

donde C ₁ y C ₂ son las constantes de la integración.

1)

Calcule la distribución de temperatura, T (x), a través de esta gruesa pared plana, si:

• las temperaturas en ambas superficies son 15.0 ° C
• El grosor de esta pared es de 2L = 10 mm.
• la conductividad de los materiales es k = 2.8 W / mK (corresponde a dióxido de uranio a 1000 ° C)
• la tasa de calor volumétrica es q _V = 10 ⁶ W / m ³

En este caso, las superficies se mantienen a temperaturas dadas T _{s, 1} y T _{s, 2} . Esto corresponde a la condición límite de Dirichlet . Además, este problema es térmicamente simétrico y, por lo tanto, podemos usar también la condición de límite de simetría térmica . Las constantes pueden evaluarse utilizando la sustitución en la solución general y tienen la forma:

La distribución de temperatura resultante y la temperatura de la línea central (x = 0) (máxima) en esta pared plana en estas condiciones límite específicas serán:

El flujo de calor en cualquier punto, q _x [Wm ^-2 ], en la pared puede, por supuesto, determinarse usando la distribución de temperatura y con la ley de Fourier . Tenga en cuenta que, con la generación de calor, el flujo de calor ya no es independiente de x, por lo tanto:

Ejemplo de ecuación de calor: problema con la solución

Conducción de calor en una barra de combustible

La mayoría de los PWR utilizan el combustible de uranio , que está en forma de dióxido de uranio . El dióxido de uranio es un sólido semiconductor negro con muy baja conductividad térmica. Por otro lado, el dióxido de uranio tiene un punto de fusión muy alto y tiene un comportamiento bien conocido. El UO ₂ se presiona en gránulos cilíndricos , estos gránulos se sinterizan en el sólido.

Estos gránulos cilíndricos se cargan y encapsulan dentro de una barra de combustible (o pasador de combustible), que está hecha de aleaciones de circonio debido a su sección transversal de muy baja absorción (a diferencia del acero inoxidable). La superficie del tubo, que cubre los gránulos, se llama revestimiento de combustible .

Ver también:  conducción térmica de dióxido de uranio

El comportamiento térmico y mecánico de las pastillas de combustible  y las barras de combustible constituyen una de las tres disciplinas clave de diseño principales. El combustible nuclear se opera en condiciones muy inhóspitas (térmicas, de radiación, mecánicas) y debe soportar un funcionamiento superior al normal. Por ejemplo, las temperaturas en el centro de los gránulos de combustible alcanzan más de 1000 ° C (1832 ° F) acompañadas de liberaciones de gases de fisión. Por lo tanto, el conocimiento detallado de la distribución de temperatura dentro de una sola barra de combustible es esencial para la operación segura del combustible nuclear. En esta sección estudiaremos la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas.usando la condición de límite de Dirichlet con una temperatura superficial dada (es decir, usando la condición de límite de Dirichlet). El análisis exhaustivo del perfil de temperatura de la barra de combustible se estudiará en una sección separada.

Temperatura en la línea central de una pastilla de combustible

Considere la pastilla de combustible de radio r _U = 0.40 cm , en la cual hay una generación de calor uniforme y constante por unidad de volumen, q _V [W / m ³ ] . En lugar de la tasa de calor volumétrica q _V [W / m ³ ], los ingenieros a menudo usan la tasa de calor lineal, q _L [W / m] , que representa la tasa de calor de un metro de varilla de combustible. La tasa de calor lineal se puede calcular a partir de la tasa de calor volumétrica mediante:

La línea central se toma como el origen de la coordenada r. Debido a la simetría en la dirección zy en la dirección azimutal, podemos separar las variables y simplificar este problema a un problema unidimensional . Por lo tanto, resolveremos la temperatura solo en función del radio, T (r) . Para una conductividad térmica constante , k, la forma apropiada de la ecuación de calor cilíndrica , es:

La solución general de esta ecuación es:

donde C ₁ y C ₂ son las constantes de la integración.

Calcule la distribución de temperatura, T (r) , en esta pastilla de combustible, si:

• las temperaturas en la superficie del pellet de combustible son T _U = 420 ° C
• el radio de la pastilla de combustible r _U = 4 mm .
• la conductividad promedio del material es k = 2.8 W / mK (corresponde a dióxido de uranio a 1000 ° C)
• la tasa de calor lineal es q _L = 300 W / cm y, por lo tanto, la tasa de calor volumétrica es q _V = 597 x 10 ⁶ W / m ³

En este caso, la superficie se mantiene a temperaturas dadas T _U . Esto corresponde a la condición límite de Dirichlet . Además, este problema es térmicamente simétrico y, por lo tanto, podemos usar también la condición de límite de simetría térmica . Las constantes pueden evaluarse utilizando la sustitución en la solución general y tienen la forma:

La distribución de temperatura resultante y la temperatura de la línea central (r = 0) (máxima) en esta pastilla de combustible cilíndrica en estas condiciones límite específicas serán:

El flujo de calor radial en cualquier radio, q _r [Wm ^-1 ], en el cilindro puede, por supuesto, determinarse usando la distribución de temperatura y con la ley de Fourier . Tenga en cuenta que, con la generación de calor, el flujo de calor ya no es independiente de r.

La siguiente figura muestra la distribución de temperatura en la pastilla de combustible a varios niveles de potencia.

______

La temperatura en un reactor en funcionamiento varía de un punto a otro dentro del sistema. Como consecuencia, siempre hay una barra de combustible y un volumen local , que están más calientes  que el resto. Con el fin de limitar estos lugares calientes los límites de potencia de pico deben ser introducidos. Los límites de potencia máxima están asociados con una crisis de ebullición y con las condiciones que podrían causar el derretimiento de los pellets de combustible. Sin embargo, las consideraciones metalúrgicas imponen límites superiores a la temperatura del revestimiento de combustible y la pastilla de combustible. Por encima de estas temperaturasExiste el peligro de que el combustible se dañe. Uno de los objetivos principales en el diseño de reactores nucleares es proporcionar la eliminación del calor producido al nivel de potencia deseado, mientras se asegura que la temperatura máxima del combustible y la temperatura máxima del revestimiento estén siempre por debajo de estos valores predeterminados.

Distribución de temperatura en revestimiento de combustible

El revestimiento  es la capa externa de las barras de combustible, que se encuentra entre el refrigerante del  reactor  y el  combustible nuclear  (es decir,  las pastillas de combustible ). Está hecho de un material resistente a la corrosión con una sección transversal de baja absorción para neutrones térmicos, generalmente  aleación de circonio . El revestimiento  evita que los productos de fisión radiactiva escapen de la matriz de combustible hacia el refrigerante del reactor y lo contaminen. El revestimiento constituye una de las barreras en el enfoque de ‘ defensa en profundidad ‘.

Considere el revestimiento de combustible del radio interno  r _{Zr, 2}  = 0.408 cm  y el radio externo  r _{Zr, 1}  = 0.465 cm . En comparación con el granulado de combustible, casi no hay generación de calor en el revestimiento de combustible (el revestimiento se  calienta ligeramente por radiación ). Todo el calor generado en el combustible debe transferirse por  conducción a  través del revestimiento y, por lo tanto, la superficie interna está más caliente que la superficie externa.

Para encontrar la distribución de temperatura a través del revestimiento, debemos resolver la  ecuación de conducción de calor . Debido a la simetría en la dirección zy en la dirección azimutal, podemos separar las variables y simplificar este problema a un problema unidimensional. Por lo tanto, resolveremos la temperatura solo en función del radio, T (r). En este ejemplo, asumiremos que estrictamente no hay generación de calor dentro del revestimiento. Para una conductividad térmica constante, k, la forma apropiada de la ecuación de calor cilíndrica, es:

La solución general de esta ecuación es:

donde C ₁  y C ₂  son las constantes de la integración.

1)

Calcule la distribución de temperatura, T (r), en este revestimiento de combustible, si:

• la temperatura en la superficie interna del revestimiento es T _{Zr, 2}  = 360 ° C
• la temperatura del refrigerante del reactor en esta coordenada axial es T a _granel  = 300 ° C
• El coeficiente de transferencia de calor (convección; flujo turbulento) es h = 41 kW / m ² .K.
• la conductividad promedio del material es k = 18 W / mK
• la tasa de calor lineal del combustible es q _L  = 300 W / cm y, por lo tanto, la tasa de calor volumétrica es q _V  = 597 x 10 ⁶  W / m ³

A partir de la relación básica para la transferencia de calor por convección, podemos calcular la superficie externa del revestimiento como:

Como se puede ver, también en este caso hemos dado temperaturas de superficie T _{Zr, 1}  y T _{Zr, 2} . Esto corresponde a la condición límite de Dirichlet. Las constantes pueden evaluarse utilizando la sustitución en la solución general y tienen la forma:

Resolviendo C ₁  y C ₂  y sustituyéndolo en la solución general, obtenemos:

∆T – superficie de revestimiento – refrigerante

El conocimiento detallado de la geometría, el radio exterior del revestimiento, la tasa de calor lineal, el coeficiente de transferencia de calor por convección y la temperatura del refrigerante determinan  ∆T  entre el refrigerante (T _volumen ) y la superficie del revestimiento (T _{Zr, 1} ). Por lo tanto, podemos calcular la temperatura de la superficie del revestimiento (T _{Zr, 1} ) simplemente usando la  Ley de Newton :

∆T en revestimiento de combustible

El conocimiento detallado de la geometría, el radio exterior e interior del revestimiento, la tasa de calor lineal y la temperatura de la superficie del revestimiento (T _{Zr, 1} ) determinan  ∆T  entre las superficies exterior e interior del revestimiento. Por lo tanto, podemos calcular la temperatura de la superficie del revestimiento interior (T _{Zr, 2} ) simplemente usando la  Ley de Fourier :