Exemple d’équation thermique – Problème de solution – Définition

Exemple d’équation thermique – Problème de solution. Dans cet article, il y a deux exemples d’équation de solution de chaleur. Les deux exemples sont avec solution. Génie thermique

Exemple d’équation thermique – Problème de solution

Conduction thermique dans un grand mur plan

Exemple d’équation thermique – Problème de solution

Considérons la paroi plane d’épaisseur 2L, dans laquelle il existe une génération de chaleur uniforme et constante par unité de volume, V [W / m 3 ] . Le plan central est pris comme origine pour x et la dalle s’étend de + L à droite et – L de gauche. Pour une conductivité thermique constante k, la forme appropriée de l’équation de la chaleur est la suivante:

équation de chaleur - génération de chaleur - équation

La solution générale de cette équation est la suivante:

équation de conduction thermique - solution générale

où C 1 et C 2 sont les constantes d’intégration.

1)

Conduction thermique dans un grand mur plan

Calculez la distribution de température, T (x), à travers cette épaisse paroi plane, si:

  • les températures sur les deux surfaces sont de 15,0 ° C
  • l’épaisseur de cette paroi est de 2L = 10 mm.
  • la conductivité des matériaux est k = 2,8 W / mK (correspond au dioxyde d’uranium à 1000 ° C)
  • le taux de chaleur volumétrique est q V = 10 6 W / m 3

Dans ce cas, les surfaces sont maintenues à des températures données T s, 1 et T s, 2 . Cela correspond à la condition aux limites de Dirichlet . De plus, ce problème est thermiquement symétrique et, par conséquent, nous pouvons également utiliser la condition aux limites de symétrie thermique . Les constantes peuvent être évaluées en utilisant la substitution dans la solution générale et sont de la forme:

équation de conduction thermique - conditions aux limites

La distribution de température résultante et la température de la ligne centrale (x = 0) (maximale) dans cette paroi plane à ces conditions aux limites spécifiques seront:

équation de conduction thermique - solution

Le flux de chaleur en tout point, q x [Wm -2 ], dans la paroi peut, bien sûr, être déterminé en utilisant la distribution de température et avec la loi de Fourier . Notez qu’avec la génération de chaleur, le flux de chaleur n’est plus indépendant de x, donc:

conduction de chaleur à travers le mur

Exemple d’équation de chaleur – problème avec la solution

Conduction de chaleur dans une barre de combustible

La plupart des REP utilisent le combustible d’uranium , qui est sous forme de dioxyde d’uranium . Le dioxyde d’uranium est un solide semi-conducteur noir à très faible conductivité thermique. En revanche, le dioxyde d’uranium a un point de fusion très élevé et a un comportement bien connu. L’UO 2 est pressé en pastilles cylindriques , ces pastilles sont ensuite frittées dans le solide.

Ces pastilles cylindriques sont ensuite chargés et encapsulés dans une barre de combustible (ou aiguille de combustible), qui est constitué d’alliages de zirconium en raison de sa très faible absorption section transversale (contrairement à l’acier inoxydable). La surface du tube, qui recouvre les pastilles, est appelée gaine de combustible .

Voir aussi:  Conduction thermique du dioxyde d’uranium

Le  comportement  thermique  et  mécanique  des  pastilles  de  combustible   et  des crayons combustibles  constitue l’une des trois principales disciplines de conception de base. Le combustible nucléaire  est exploité dans des conditions très inhospitalières (thermique, rayonnement, mécanique) et doit résister à des conditions de fonctionnement plus élevées que la normale. Par exemple, les températures au centre des pastilles de combustible atteint plus de  1000 °C (1832°F) accompagnés de rejets de gaz de fission. Par conséquent, une connaissance détaillée de la distribution de la température dans un seul crayon de combustible est essentielle pour un fonctionnement sûr du combustible nucléaire. Dans cette section, nous étudions  l’équation de conduction thermique  en  coordonnées cylindriques en utilisant la condition aux limites de Dirichlet avec une température de surface donnée (c’est-à-dire en la condition aux limites de Dirichlet). Une analyse complète du profil de température des crayons de combustible sera étudiée dans une section distincte.

Température dans l’axe d’une pastille de combustible

Considérons la pastille de combustible de rayon U = 0,40 cm , dans laquelle il y a une génération de chaleur uniforme et constante par unité de volume, V [W/m 3 ] . Au lieu du taux de chaleur volumétrique q V [W/m 3 ], les ingénieurs utilisent souvent le taux de chaleur linéaire, q L [W/m] , qui représente le taux de chaleur d’un mètre de crayon combustible. Le taux de chaleur linéaire peut être calculé à partir du taux de chaleur volumétrique par :

taux de chaleur linéaire vs taux de chaleur volumétrique

La ligne médiane est prise comme origine pour la coordonnée r. En raison de la symétrie dans la direction z et dans la direction azimutale, nous pouvons séparer des variables et simplifier ce problème en un problème unidimensionnel . Ainsi, nous allons résoudre pour la température en fonction du rayon, T(r) , uniquement. Pour une conductivité thermique constante , k, la forme appropriée de l’ équation de la chaleur cylindrique , est :

équation de la chaleur - cylindrique - 2

La solution générale de cette équation est :

équation de la chaleur - cylindrique - solution générale

où C 1 et C 2 sont les constantes d’intégration.

Conduction thermique - pastille combustibleCalculer la distribution de température, T(r) , dans cette pastille de combustible, si :

  • la température à la surface de la pastille de combustible est U = 420°C
  • le rayon des pastilles de combustible U = 4 mm .
  • la conductivité moyenne du matériau est k = 2,8 W/mK (correspond au dioxyde d’uranium à 1000°C)
  • le taux de chaleur linéaire est L = 300 W/cm et donc le taux de chaleur volumétrique est q V = 597 x 10 6 W/m 3

Dans ce cas, la surface est maintenue à des températures données T U . Cela correspond à la condition aux limites de Dirichlet . De plus, ce problème est thermiquement symétrique et nous pouvons donc utiliser également la condition aux limites de symétrie thermique . Les constantes peuvent être évaluées par substitution dans la solution générale et sont de la forme :

équation de la chaleur - cylindrique - conditions aux limites

La distribution de température résultante et la température centrale (r = 0) (maximum) dans cette pastille de combustible cylindrique à ces conditions limites spécifiques seront :

équation de la chaleur - cylindrique - solution

Le flux de chaleur radial à n’importe quel rayon, q r [Wm -1 ], dans le cylindre peut, bien sûr, être déterminé en utilisant la distribution de température et avec la loi de Fourier . Notez que, avec la génération de chaleur, le flux de chaleur n’est plus indépendant de r.

La figure suivante montre la répartition de la température dans la pastille de combustible à différents niveaux de puissance.

Distribution de température - combustible nucléaire

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La température dans un réacteur en fonctionnement varie d’un point à un autre dans le système. En conséquence, il y a toujours un crayon combustible et un volume local , qui sont plus chauds  que tous les autres. Afin de limiter ces points chauds, des limites de puissance crête doivent être introduites. Les limites de puissance de pointe sont associées à une crise d’ébullition et aux conditions pouvant provoquer la fonte des pastilles de combustible. Cependant, des considérations métallurgiques imposent une limite supérieure à la température de la gaine du combustible et de la pastille de combustible. Au dessus de ces températuresil y a un risque que le carburant soit endommagé. L’un des objectifs majeurs dans la conception d’un réacteur nucléaire est de prévoir l’évacuation de la chaleur produite au niveau de puissance souhaité, tout en garantissant que la température maximale du combustible et la température maximale de la gaine soient toujours inférieures à ces valeurs prédéterminées.

Répartition de la température dans la gaine de combustible

La gaine  est la couche externe des barres de combustible, située entre le liquide de refroidissement du  réacteur  et le  combustible nucléaire  (c’est-à-dire  les pastilles de combustible ). Il est constitué d’un matériau résistant à la corrosion avec une faible section efficace d’absorption pour les neutrons thermiques, généralement en  alliage de zirconium . Les gaines  empêchent les produits de fission radioactifs de s’échapper de la matrice combustible dans le caloporteur du réacteur et de le contaminer. Les bardages constituent l’une des barrières de l’approche « défense en profondeur ».

Considérons la gaine de combustible de rayon intérieur  Zr,2  = 0,408 cm  et de rayon extérieur  Zr,1  = 0,465 cm . Par rapport aux pastilles de combustible, il n’y a pratiquement pas de génération de chaleur dans la gaine du combustible (la gaine est  légèrement chauffée par rayonnement ). Toute la chaleur générée dans le carburant doit être transférée par  conduction à  travers le revêtement et, par conséquent, la surface intérieure est plus chaude que la surface extérieure.

Pour trouver la distribution de température à travers le revêtement, nous devons résoudre l’  équation de conduction thermique . En raison de la symétrie dans la direction z et dans la direction azimutale, nous pouvons séparer les variables et simplifier ce problème en un problème unidimensionnel. Ainsi, nous allons résoudre pour la température en fonction du rayon, T(r), uniquement. Dans cet exemple, nous supposerons qu’il n’y a strictement aucune génération de chaleur à l’intérieur du revêtement. Pour une conductivité thermique constante, k, la forme appropriée de l’équation de la chaleur cylindrique, est :

équation de la chaleur - revêtement

La solution générale de cette équation est :

équation de la chaleur - gaine - solution générale

où C 1  et C 2  sont les constantes d’intégration.

1)

Conduction thermique - pastille combustibleCalculer la distribution de température, T(r), dans cette gaine de combustible, si :

  • la température à la surface intérieure du revêtement est T Zr,2  = 360°C
  • la température du fluide caloporteur à cette coordonnée axiale est T bulk  = 300°C
  • le coefficient de transfert thermique (convection ; écoulement turbulent) est h = 41 kW/m 2 .K.
  • la conductivité moyenne du matériau est k = 18 W/mK
  • le taux de chaleur linéaire du combustible est q L  = 300 W/cm et donc le taux de chaleur volumétrique est q V  = 597 x 10 6  W/m 3

A partir de la relation de base pour le transfert de chaleur par convection, nous pouvons calculer la surface extérieure du revêtement comme suit :

loi de newtons - bardage

Comme on peut le voir, également dans ce cas, nous avons donné les températures de surface T Zr,1  et T Zr,2 . Cela correspond à la condition aux limites de Dirichlet. Les constantes peuvent être évaluées par substitution dans la solution générale et sont de la forme :

équation de la chaleur - solution générale - gaine

En résolvant C 1  et C 2  et en substituant dans la solution générale, on obtient alors :

équation de la chaleur - gaine - solution

∆T – surface de revêtement – liquide de refroidissement

Une connaissance détaillée de la géométrie, du rayon extérieur de la gaine, du taux de chaleur linéaire, du coefficient de transfert de chaleur par convection et de la température du liquide de refroidissement détermine  ∆T  entre le liquide de refroidissement (T vrac ) et la surface de la gaine (T Zr,1 ). On peut donc calculer la température de surface de la gaine (T Zr,1 ) simplement en utilisant la  loi de Newton :

∆T - surface de gaine - réfrigérant - loi de Newtons

∆T dans la gaine du combustible

Une connaissance détaillée de la géométrie, du rayon extérieur et intérieur du revêtement, du taux de chaleur linéaire et de la température de surface du revêtement (T Zr,1 ) détermine  ∆T  entre les surfaces extérieure et intérieure du revêtement. Par conséquent, nous pouvons calculer la température de surface de la gaine intérieure (T Zr,2 ) simplement en utilisant la  loi de Fourier :

∆T en gaine combustible - loi de fouriers