Dirichlet-Randbedingung – Typ I-Randbedingung
In der Mathematik ist die Dirichlet-Randbedingung eine Randbedingung, die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Bei Anwendung auf eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gibt die Bedingung die Werte an, bei denen die Ableitung einer Lösung innerhalb der Domänengrenze angewendet wird.
Bei Wärmeübertragungsproblemen entspricht dieser Zustand einer vorgegebenen festen Oberflächentemperatur . Die Dirichlet-Randbedingung ist beispielsweise dann eng angenähert, wenn die Oberfläche mit einem schmelzenden Feststoff oder einer siedenden Flüssigkeit in Kontakt steht. In beiden Fällen findet an der Oberfläche ein Wärmeübergang statt, während die Oberfläche auf der Temperatur des Phasenwechselprozesses bleibt.
Allgemeine Wärmeleitungsgleichung
Die Wärmeleitungsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Wärmeverteilung (oder das Temperaturfeld ) in einem bestimmten Körper über die Zeit beschreibt. Detaillierte Kenntnisse des Temperaturfeldes sind für die Wärmeleitung durch Materialien von großer Bedeutung. Sobald diese Temperaturverteilung bekannt ist, kann der Wärmestrom durch Wärmeleitung an einem beliebigen Punkt im Material oder auf seiner Oberfläche nach dem Fourier-Gesetz berechnet werden .
Die Wärmegleichung ergibt sich aus dem Fourierschen Gesetz und der Energieerhaltung . Das Fourier-Gesetz besagt, dass die Zeitrate der Wärmeübertragung durch ein Material proportional zum negativen Temperaturgradienten und zu der Fläche ist, die rechtwinklig zu dem Gradienten verläuft, durch den die Wärme fließt.
Eine Änderung der inneren Energie pro Volumeneinheit im Material ΔQ ist proportional zur Änderung der Temperatur Δu. Das ist:
∆Q = ρ.c p .∆T
Generelle Form
Unter Verwendung dieser beiden Gleichungen können wir die allgemeine Wärmeleitungsgleichung ableiten:
Diese Gleichung wird auch als Fourier-Biot-Gleichung bezeichnet und bietet das grundlegende Werkzeug für die Wärmeleitungsanalyse. Aus seiner Lösung können wir das Temperaturfeld als Funktion der Zeit erhalten.
In Worten heißt es in der Wärmeleitungsgleichung :
Zu jedem Zeitpunkt im Medium muss die Nettorate der Energieübertragung durch Leitung in ein Volumeneinheit plus die Volumenrate der Wärmeenergieerzeugung gleich der Änderungsrate der im Volumen gespeicherten Wärmeenergie sein.
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