Condition aux limites de Dirichlet – Condition aux limites de type I
En mathématiques, la condition aux limites de Dirichlet (ou du premier type) est un type de condition aux limites, du nom du mathématicien allemand Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859). Lorsqu’elle est imposée à une équation différentielle ordinaire ou partielle, la condition spécifie les valeurs dans lesquelles la dérivée d’une solution est appliquée dans les limites du domaine.
Dans les problèmes de transfert de chaleur, cette condition correspond à une température de surface fixe donnée . La condition limite de Dirichlet est très proche, par exemple, lorsque la surface est en contact avec un solide en fusion ou un liquide en ébullition. Dans les deux cas, il y a transfert de chaleur à la surface, tandis que la surface reste à la température du processus de changement de phase.
Équation générale de conduction thermique
L’ équation de conduction thermique est une équation différentielle partielle qui décrit la répartition de la chaleur (ou du champ de température ) dans un corps donné dans le temps. Une connaissance détaillée du champ de température est très importante dans la conduction thermique à travers les matériaux. Une fois cette distribution de température connue, le flux thermique de conduction en un point quelconque du matériau ou à sa surface peut être calculé à partir de la loi de Fourier .
L’équation de la chaleur est dérivée de la loi de Fourier et de la conservation de l’énergie . La loi de Fourier stipule que le temps de transfert de chaleur à travers un matériau est proportionnel au gradient négatif de la température et à la surface, perpendiculairement à ce gradient, à travers lequel la chaleur s’écoule.
Un changement d’énergie interne par unité de volume dans le matériau, ΔQ, est proportionnel au changement de température, Δu. C’est:
Q = ρ.c p .∆T
Forme générale
En utilisant ces deux équations, nous pouvons dériver l’équation générale de la conduction thermique:
Cette équation est également connue sous le nom d’ équation de Fourier-Biot et fournit l’outil de base pour l’analyse de conduction thermique. A partir de sa solution, on peut obtenir le champ de température en fonction du temps.
En d’autres termes, l’ équation de conduction thermique indique que:
En tout point du milieu, le taux net de transfert d’énergie par conduction dans un volume unitaire plus le taux volumétrique de génération d’énergie thermique doit être égal au taux de variation de l’énergie thermique stockée dans le volume.
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