O que é a Equação de Navier-Stokes – Definição

As equações de Navier-Stokes são equações que descrevem o movimento tridimensional do fluido viscoso. As equações de Navier-Stokes fornecem uma aproximação muito boa da realidade. Engenharia Térmica

Equações de Navier-Stokes

Na dinâmica de fluidos , as equações de Navier-Stokes são equações que descrevem o movimento tridimensional de substâncias fluidas viscosas . Essas equações têm o nome de Claude-Louis Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903). Em situações em que não há fortes gradientes de temperatura no fluido, essas equações fornecem uma aproximação muito boa da realidade .

As equações de Navier-Stokes consistem em uma equação de continuidade dependente do tempo para conservação de massa , três equações de conservação de momento dependentes de tempo e uma equação de conservação de energia dependente de tempo . Existem quatro variáveis ​​independentes no problema, as coordenadas espaciais x, ye z de algum domínio, e o tempo t.

Equações de Navier-Stokes

Como pode ser visto, as equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem; suas soluções foram encontradas em uma variedade de problemas interessantes de fluxo viscoso. Eles podem ser usados ​​para modelar o clima, as correntes oceânicas, o fluxo de ar em torno de um aerofólio e o fluxo de água em um tubo ou em um reator. As equações de Navier-Stokes, em suas formas completas e simplificadas, ajudam no design de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no design de reatores nucleares e em muitas outras coisas.

Solução das equações de Navier-Stokes

Dinâmica de Fluidos
Simulação numérica de CFD
Fonte: CFD development group – hzdr.de

Embora as equações de Navier-Stokes possuam apenas um número limitado de soluções analíticas conhecidas, elas são passíveis de modelagem computacional em grade. A principal ferramenta disponível para sua análise é a análise CFD . O CFD é um ramo da mecânica de fluidos que utiliza análise e algoritmos numéricos para resolver e analisar problemas que envolvem fluxos de fluidos turbulentos. É amplamente aceito que as equações de Navier-Stokes (ou equações simplificadas de Navier-Stokes com média de Reynolds ) são capazes de exibir soluções turbulentas, e essas equações são a base de praticamente todos os códigos CFD. Agora é possível obter resultados CFD aproximados, mas realistas, para uma ampla variedade de fluxos viscosos bidimensionais e tridimensionais complexos.

As equações de Navier-Stokes também são de grande interesse em um sentido puramente matemático. Infelizmente, o caráter altamente intermitente e irregular do fluxo turbulento complica todas as análises . Ainda não foi provado que em três dimensões sempre existem soluções ou que, se existem, são suaves. De fato, costuma-se dizer que a solução geral das equações de Navier-Stokes com turbulências é o “último problema não resolvido da física matemática clássica”.

Características do fluxo turbulento

  • Número de ReynoldsO fluxo turbulento tende a ocorrer em  velocidades mais altas ,  baixa viscosidade  e em dimensões lineares características mais altas  .
  • Se o número de Reynolds for maior que Re> 3500, o fluxo será turbulento.
  • Irregularidade:  O fluxo é caracterizado pelo movimento irregular das partículas do fluido. O movimento de partículas fluidas é caótico. Por esse motivo, o fluxo turbulento é normalmente tratado estatisticamente, e não deterministicamente.
  • Difusividade:  No fluxo turbulento, existe uma distribuição de velocidade bastante plana na seção do tubo, com o resultado de que todo o fluido flui em um determinado valor único e cai rapidamente extremamente perto das paredes. A característica responsável pela mistura aprimorada e aumento das taxas de transporte de massa, momento e energia em um fluxo é chamada de “difusividade”.
  • Rotacionalidade: O  fluxo turbulento é caracterizado por um forte mecanismo tridimensional de geração de vórtices. Esse mecanismo é conhecido como alongamento por vórtice.
  • Dissipação:  Um processo dissipativo é um processo no qual a energia cinética do fluxo turbulento é transformada em energia interna por tensão de cisalhamento viscoso.

Kolmogorov Microscales

Na visão de Kolmogorov ( Andrey Nikolaevich Kolmogorov era um matemático russo que fez contribuições significativas para a matemática da teoria das probabilidades e da turbulência), movimentos turbulentos envolvem uma ampla gama de escalas . De uma macroescala na qual a energia é fornecida, a uma microescala na qual a energia é dissipada pela viscosidade.

Por exemplo, considere uma nuvem cumulus. A macroescala da nuvem pode ser da ordem de quilômetros e pode crescer ou persistir por longos períodos de tempo. Dentro da nuvem, redemoinhos podem ocorrer em escalas da ordem de milímetros . Para fluxos menores, como em tubos, as micro-escalas podem ser muito menores. A maior parte da energia cinética do fluxo turbulento está contida nas estruturas de macroescala. A energia “cascata” dessas estruturas de macroescala para estruturas de microescala por um mecanismo inercial. Esse processo é conhecido como cascata de energia turbulenta .

As menores escalas em fluxo turbulento são conhecidas como microescalas Kolmogorov . Elas são pequenas o suficiente para que a difusão molecular se torne importante e a dissipação viscosa de energia ocorra e a energia cinética turbulenta é dissipada em calor.

As menores escalas em fluxo turbulento, ou seja, as microescalas Kolmogorov são:

kolmogorov microscales

onde ε é a taxa média de taxa de dissipação da energia cinética da turbulência por unidade de massa e tem dimensões (m 2 / s 3 ). ν é a viscosidade cinemática do fluido e possui dimensões (m 2 / s).

O tamanho do menor redemoinho no fluxo é determinado pela viscosidade. A escala de comprimento de Kolmogorov diminui à medida que a viscosidade diminui. Para fluxos de números Reynolds muito altos , as forças viscosas são menores em relação às forças inerciais. Movimentos de menor escala são necessariamente gerados até que os efeitos da viscosidade se tornem importantes e a energia seja dissipada. A proporção entre as escalas de maior e menor comprimento no fluxo turbulento é proporcional ao número de Reynolds (aumenta com a potência de três quartos ).

microscales de kolmogorov - equação

Isso faz com que simulações numéricas diretas de fluxo turbulento sejam praticamente impossíveis. Por exemplo, considere um fluxo com um número de Reynolds de 10 6 . Nesse caso, a razão L / l é proporcional a 10 18/4 . Como temos que analisar o problema tridimensional, precisamos calcular uma grade que consiste em pelo menos 10 14 pontos de grade . Isso excede em muito a capacidade e as possibilidades dos computadores existentes.

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