Interface-Randbedingung
Bei Wärmeübertragungsproblemen kann die Grenzflächenrandbedingung verwendet werden, wenn das Material aus Schichten verschiedener Materialien besteht. Die Lösung eines Wärmeübertragungsproblems in einem solchen Medium erfordert die Lösung des Wärmeübertragungsproblems in jeder Schicht, und an jeder Grenzfläche muss eine Grenzflächenbedingung angegeben werden. Die Schnittstellenrandbedingungen an einer Schnittstelle basieren auf den beiden folgenden Anforderungen:
- zwei kontaktierende Körper müssen im Kontaktbereich die gleiche Temperatur haben (dh ein idealer Kontakt ohne Kontaktwiderstand)
- Eine Grenzfläche kann keine Energie speichern, und daher ist die Wärmeleitung an der Oberfläche des ersten Materials gleich der Wärmeleitung an der Oberfläche des zweiten Materials
Bemerkenswert ist, dass beim Verschrauben oder sonstigen Zusammenpressen von Bauteilen auch Kenntnisse über das Wärmeverhalten solcher Verbindungen erforderlich sind. In diesen Verbundsystemen kann der Temperaturabfall an der Grenzfläche zwischen Materialien erheblich sein. Dieser Temperaturabfall wird durch den gekennzeichnete thermischen Kontakt Leitwert Koeffizienten , h c , die eine Eigenschaft ist , die thermische Leitfähigkeit anzeigt, oder die Fähigkeit , Wärme zu leiten, zwischen zwei Körpern in Kontakt.
Die Grenzflächenbedingung kann auf die in der Abbildung dargestellte Weise mathematisch ausgedrückt werden.
Allgemeine Wärmeleitungsgleichung
Die Wärmeleitungsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Wärmeverteilung (oder das Temperaturfeld ) in einem bestimmten Körper über die Zeit beschreibt. Detaillierte Kenntnisse des Temperaturfeldes sind für die Wärmeleitung durch Materialien von großer Bedeutung. Sobald diese Temperaturverteilung bekannt ist, kann der Wärmestrom durch Wärmeleitung an einem beliebigen Punkt im Material oder auf seiner Oberfläche nach dem Fourier-Gesetz berechnet werden .
Die Wärmegleichung ergibt sich aus dem Fourierschen Gesetz und der Energieerhaltung . Das Fourier-Gesetz besagt, dass die Zeitrate der Wärmeübertragung durch ein Material proportional zum negativen Temperaturgradienten und zu der Fläche ist, die rechtwinklig zu dem Gradienten verläuft, durch den die Wärme fließt.
Eine Änderung der inneren Energie pro Volumeneinheit im Material ΔQ ist proportional zur Änderung der Temperatur Δu. Das ist:
∆Q = ρ.c p .∆T
Generelle Form
Unter Verwendung dieser beiden Gleichungen können wir die allgemeine Wärmeleitungsgleichung ableiten:
Diese Gleichung wird auch als Fourier-Biot-Gleichung bezeichnet und bietet das grundlegende Werkzeug für die Wärmeleitungsanalyse. Aus seiner Lösung können wir das Temperaturfeld als Funktion der Zeit erhalten.
In Worten heißt es in der Wärmeleitungsgleichung :
Zu jedem Zeitpunkt im Medium muss die Nettorate der Energieübertragung durch Leitung in ein Volumeneinheit plus die Volumenrate der Wärmeenergieerzeugung gleich der Änderungsrate der im Volumen gespeicherten Wärmeenergie sein.
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