Quelle est l’équation de Bernoulli – Principe de Bernoulli – Définition

L’équation de Bernoulli – Le principe de Bernoulli. Cela peut être considéré comme une déclaration du principe de conservation de l’énergie approprié aux fluides en écoulement.

Conservation d’énergie

L’énergie ne peut être ni créée ni détruite.

Ce principe est généralement appelé principe de conservation de l’énergie et stipule que l’ énergie totale d’un système isolé reste constante – on dit qu’elle est conservée dans le temps. Cela équivaut à la première loi de la thermodynamique , utilisée pour développer l’équation d’énergie générale en thermodynamique. Ce principe peut être utilisé dans l’analyse des fluides en écoulement et s’exprime mathématiquement par l’équation suivante:Conservation de l'énergie - fluidesoù h est l’enthalpie, k est la conductivité thermique du fluide, T est la température et est la fonction de dissipation visqueuse.

 

L’équation de Bernoulli

Équation de Bernoulli;  PrincipeL’équation de Bernoulli peut être considérée comme un énoncé du principe de conservation de l’énergie approprié pour les fluides en circulation. C’est l’une des équations les plus importantes / utiles en mécanique des fluides . Il met en relation la pression et la vitesse dans un écoulement incompressible non visqueux . L’équation de Bernoulli a quelques restrictions dans son applicabilité, elles sont résumées dans les points suivants:

  • système à débit constant,
  • la densité est constante (ce qui signifie également que le fluide est incompressible),
  • aucun travail n’est effectué sur ou par le fluide,
  • aucune chaleur n’est transférée vers ou depuis le fluide,
  • aucun changement ne se produit dans l’énergie interne,
  • l’équation relie les états en deux points le long d’une même ligne de courant (pas les conditions sur deux lignes de courant différentes)

Dans ces conditions, l’équation générale de l’énergie est simplifiée pour:

Théorème de Bernoulli - Équation
Cette équation est l’équation la plus connue en dynamique des fluides . L’équation de Bernoulli décrit le comportement qualitatif qui coule du fluide qui est généralement étiqueté avec le terme effet de Bernoulli . Cet effet provoque l’ abaissement de la pression du fluide dans les régions où la vitesse d’écoulement est augmentée. Cette baisse de pression dans une constriction d’un chemin d’écoulement peut sembler contre-intuitive, mais elle l’est moins quand on considère la pression comme étant la densité d’énergie. Dans le flux à grande vitesse à travers la constriction, l’énergie cinétique doit augmenter aux dépens de l’énergie de pression. Les dimensions des termes dans l’équation sont l’énergie cinétique par unité de volume.

Équation de Bernoulli étendue

Deux hypothèses principales ont été appliquées à la dérivation de l’ équation de Bernoulli simplifiée .

  • La première restriction de l’équation de Bernoulli est qu’aucun travail ne doit être effectué sur ou par le fluide. Il s’agit d’une limitation importante, car la plupart des systèmes hydrauliques (en particulier dans le génie nucléaire ) comprennent des pompes. Cette restriction empêche l’analyse de deux points dans un flux de fluide s’il existe une pompe entre les deux points.
  • La deuxième restriction de l’équation de Bernoulli simplifiée est qu’aucun frottement de fluide n’est autorisé pour résoudre les problèmes hydrauliques. En réalité, la friction joue un rôle crucial . La tête totale possédée par le fluide ne peut pas être transférée complètement et sans perte d’un point à un autre. En réalité, l’un des objectifs des pompes incorporées dans un système hydraulique est de surmonter les pertes de pression dues au frottement.
Diagramme caractéristique QH de la pompe centrifuge et de la canalisation
Diagramme caractéristique QH de la pompe centrifuge et de la canalisation

En raison de ces restrictions, la plupart des applications pratiques de l’ équation de Bernoulli simplifiée aux systèmes hydrauliques réels sont très limitées. Pour faire face à la fois aux pertes de charge et au travail de la pompe, l’ équation de Bernoulli simplifiée doit être modifiée .

L’équation de Bernoulli peut être modifiée pour tenir compte des gains et pertes de tête . L’équation résultante, appelée équation de Bernoulli étendue , est très utile pour résoudre la plupart des problèmes d’écoulement de fluide. L’équation suivante est une forme de l’équation de Bernoulli étendue.

Équation de Bernoulli étendue

où:
h = hauteur au-dessus du niveau de référence (m)
v = vitesse moyenne du fluide (m / s)
p = pression du fluide (Pa)
pompe = tête ajoutée par la pompe (m)
friction = perte de charge due à la friction du fluide ( m)
g = accélération due à la gravité (m / s 2 )

La perte de charge (ou la perte de pression) due à la friction de fluide (H friction ) représente l’énergie utilisée pour surmonter la friction causée par les parois du tuyau. La perte de charge qui se produit dans les tuyaux dépend de la vitesse d’écoulement, du diamètre et de la longueur du tuyau , et d’un facteur de friction basé sur la rugosité du tuyau et le nombre de Reynolds du débit. Un système de tuyauterie contenant de nombreux raccords de tuyauterie et joints, convergence de tube, divergence, spires, rugosité de surface et autres propriétés physiques augmentera également la perte de charge d’un système hydraulique.

Bien que la perte de charge représente une perte d’énergie , elle ne représente pas une perte d’énergie totale du fluide. L’énergie totale du fluide se conserve grâce à la loi de conservation de l’énergie . En réalité, la perte de charge due au frottement se traduit par une augmentation équivalente de l’énergie interne (augmentation de la température) du fluide.

La plupart des méthodes d’évaluation de la perte de charge due au frottement reposent presque exclusivement sur des preuves expérimentales. Ceci sera discuté dans les sections suivantes.

Exemples – Principe de Bernoulli

L’effet de Bernoulli – Relation entre pression et vitesse

Il s’agit d’un exemple illustratif, les données suivantes ne correspondent à aucune conception de réacteur.

Équation de continuité - Débits dans le réacteur
Exemple de débits dans un réacteur. Il s’agit d’un exemple illustratif, les données ne représentent aucune conception de réacteur.

Lorsque l’ équation de Bernoulli est combinée avec l’ équation de continuité, les deux peuvent être utilisées pour trouver des vitesses et des pressions à des points du flux reliés par une ligne de courant.

L’équation de continuité est simplement une expression mathématique du principe de conservation de la masse . Pour un volume de contrôle qui a une seule entrée et une seule sortie , le principe de conservation de la masse stipule que, pour un débit en régime permanent , le débit massique dans le volume doit être égal au débit massique sortant.

Exemple:

Déterminer la pression et la vitesse à l’ intérieur d’une branche froide de la tuyauterie primaire et déterminer la pression et la vitesse au fond d’un cœur de réacteur , qui est à environ 5 mètres en dessous de la branche froide de la tuyauterie primaire.

Supposons:

  • Un fluide de densité constante ⍴ ~ 720 kg / m 3 (à 290 ° C) s’écoule régulièrement à travers la jambe froide et à travers le fond du cœur.
  • La section transversale du débit de la tuyauterie primaire (boucle unique) est égale à 0,385 m 2 (diamètre de la tuyauterie ~ 700 mm)
  • La vitesse d’écoulement dans la jambe froide est égale à 17 m / s .
  • La section efficace d’écoulement du cœur du réacteur est égale à 5 m 2 .
  • La pression manométrique à l’intérieur de la jambe froide est égale à 16 MPa .

En raison du principe de continuité, la vitesse au fond du noyau est:

entrée = v froid . Une tuyauterie / un noyau A = 17 x 1,52 / 5 = 5,17 m / s

En raison du principe de Bernoulli, la pression au fond du cœur (entrée du cœur) est:

Principe de Bernoulli - Exemple

Principe de Bernoulli – Force de levage

Lift Force - Newtons Law
La troisième loi de Newton stipule que la portance est causée par une déviation d’écoulement.

En général, la portance est une force à action ascendante exercée sur une aile ou une aile d’ avion . Il existe plusieurs façons d’expliquer comment un profil aérodynamique génère une portance . Certaines théories sont plus compliquées ou plus rigoureuses mathématiquement que d’autres. Certaines théories se sont révélées incorrectes. Il y a des théories basées sur le principe de Bernoulli et il y a des théories basées directement sur la troisième loi de Newton .

L’explication basée sur la troisième loi de Newton indique que la portance est causée par une déviation d’écoulement du flux d’air derrière le profil aérodynamique. Le profil aérodynamique génère une portance en exerçant une force vers le bas sur l’air lorsqu’il s’écoule. Selon le troisième principe de Newton, l’air doit exercer une force ascendante sur le profil aérodynamique . Ceci est une explication très simple.

Force de levage - Principe de Bernoulli
Selon le principe de Bernoulli, l’air se déplaçant plus rapidement exerce moins de pression, et donc l’air doit exercer une force ascendante sur le profil aérodynamique (en raison d’une différence de pression).

Le principe de Bernoulli combiné à l’ équation de continuité peut également être utilisé pour déterminer la force de portance sur un profil aérodynamique, si le comportement de l’écoulement de fluide au voisinage du film est connu. Dans cette explication, la forme d’un profil aérodynamique est cruciale. La forme d’un profil aérodynamique fait que l’air circule plus vite en haut qu’en bas. Selon le principe de Bernoulli , l’air se déplaçant plus rapidement exerce moins de pression , et donc l’air doit exercer une force ascendante sur le profil aérodynamique (en raison d’une différence de pression).

Le principe de Bernoulli exige que le profil aérodynamique soit de forme asymétrique . Sa surface doit être plus grande en haut qu’en bas. Lorsque l’air circule sur le profil aérodynamique, il est davantage déplacé par la surface supérieure que par le bas. Selon le principe de continuité , ce déplacement doit conduire à une augmentation de la vitesse d’écoulement (entraînant une diminution de la pression). La vitesse d’écoulement est augmentée en partie par la surface inférieure du profil aérodynamique, mais considérablement inférieure à l’écoulement sur la surface supérieure. La force de portance d’un profil aérodynamique, caractérisée par le coefficient de portance , peut être modifiée pendant le vol par des changements de forme d’un profil aérodynamique. Le coefficient de portance peut ainsi même être doublé avec des appareils relativement simples (volets et lattes ) s’ils sont utilisés sur l’ensemble de l’aile.L’utilisation du principe de Bernoulli peut ne pas être correcte. Le principe de Bernoulli suppose une incompressibilité de l’air, mais en réalité, l’air est facilement compressible. Mais il y a plus de limitations d’explications basées sur le principe de Bernoulli. Il existe deux principales explications populaires de l’ascenseur:

  • Explication basée sur la déviation vers le bas de l’écoulement – troisième loi de Newton
  • Explication basée sur les changements de vitesse et de pression d’écoulement – Principe de continuité et principe de Bernoulli

Les deux explications identifient correctement certains aspects des forces de portance mais laissent inexpliquées d’autres aspects importants du phénomène. Une explication plus complète implique à la fois des changements de vitesse d’écoulement et une déflexion vers le bas et nécessite d’examiner le flux plus en détail.

Voir plus: Doug McLean, Comprendre l’aérodynamique: argumenter à partir de la physique réelle. John Wiley & Sons Ltd. 2013. ISBN: 978-1119967514

L’effet de Bernoulli – Rotation de la balle dans un flux d’air

Principe de Bernoulli - Balle tournanteL’effet de Bernoulli a une autre conséquence intéressante et intéressante. Supposons qu’une balle est en train de tourner lorsqu’il se déplace à travers l’air. Au fur et à mesure que la balle tourne, le frottement de la surface de la balle avec l’air environnant entraîne une fine couche (appelée couche limite ) d’air avec elle. On peut voir sur l’image que la couche limite se déplace d’un côté dans la même direction que le flux d’air qui circule autour de la balle (la flèche supérieure) et de l’autre côté, la couche limite se déplace dans la direction opposée ( la flèche du bas). Du côté de la balle où le flux d’air et la couche limite se déplacent dans la direction opposée (la flèche du bas) l’un à l’autre, entre les deux frottementsralentit le flux d’air . De l’autre côté, ces couches se déplacent dans la même direction et le flux se déplace plus rapidement .

Selon le principe de Bernoulli , l’air se déplaçant plus rapidement exerce moins de pression, et donc l’air doit exercer une force ascendante sur le ballon. En fait, dans ce cas, l’utilisation du principe de Bernoulli peut ne pas être correcte. Le principe de Bernoulli suppose une incompressibilité de l’air, mais en réalité, l’air est facilement compressible. Mais il y a plus de limitations d’explications basées sur le principe de Bernoulli.

Les travaux de Robert G.Watts et Ricardo Ferrer (Les forces latérales sur une sphère en rotation: Aérodynamique d’une boule de courbe) cet effet peut être expliqué par un autre modèle qui accorde une attention particulière à la couche limite de rotation de l’air autour de la balle. Du côté de la balle où le flux d’air et la couche limite se déplacent dans la direction opposée (la flèche du bas), la couche limite a tendance à se séparer prématurément. Du côté de la balle où le flux d’air et la couche limite se déplacent dans la même direction, la couche limite se déplace plus loin autour de la balle avant de se séparer en un écoulement turbulent. Cela donne une déviation de fluxdu courant d’air dans une direction derrière le ballon. La balle en rotation génère une portance en exerçant une force vers le bas sur l’air lorsqu’elle passe. Selon le troisième principe de Newton , l’air doit exercer une force ascendante sur le ballon.

La loi de Torricelli

La loi de Torricelli
Source: wikipedia.org – CC BY-SA

La loi de Torricelli , également connue sous le nom de principe de Torricelli , ou théorème de Torricelli , énonce dans la dynamique des fluides que la vitesse, v, du fluide s’écoulant d’un orifice sous la force de gravité dans un réservoir est proportionnelle à la racine carrée de la distance verticale, h , entre la surface du liquide et le centre de l’orifice et à la racine carrée de deux fois l’accélération provoquée par la gravité (g = 9,81 N / kg près de la surface de la terre).

En d’autres termes, la vitesse d’efflux du fluide de l’orifice est la même que celle qu’il aurait acquise en tombant d’une hauteur h sous gravité. La loi a été découverte et nommée d’après le scientifique italien Evangelista Torricelli , en 1643. Il a été démontré plus tard qu’il s’agissait d’un cas particulier du principe de Bernoulli .
Théorème de Bernoulli - Équation

L’ équation de Torricelli est dérivée pour une condition spécifique. L’orifice doit être petit et la viscosité et les autres pertes doivent être ignorées. Si un fluide s’écoule à travers un très petit orifice (par exemple au fond d’un grand réservoir), la vitesse du fluide à la grande extrémité peut être négligée dans l’équation de Bernoulli. De plus la vitesse d’efflux est indépendante du sens d’écoulement. Dans ce cas, la vitesse d’efflux de fluide s’écoulant à travers l’orifice donnée par la formule suivante:

v = √ 2gh

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