Qu’est-ce que l’équation de continuité – Définition

L’équation de continuité est simplement une expression mathématique du principe de conservation de la masse. Une équation de continuité générale peut également être écrite sous une forme différentielle. Génie thermique

Conservation de la masse

La masse ne peut être ni créée ni détruite.
Équation de continuité - Définition
Équation de continuité – Définition

Ce principe est généralement connu sous le nom de principe de conservation de la matière et stipule que la masse d’un objet ou d’une collection d’objets ne change jamais avec le temps, quelle que soit la manière dont les parties constituantes se réorganisent. Ce principe peut être utilisé dans l’analyse de fluides en écoulement . La conservation de la masse dans la dynamique des fluides indique que tous les débits massiques dans un volume de contrôle sont égaux à tous les débits massiques hors du volume de contrôle plus le taux de variation de masse dans le volume de contrôle. Ce principe est exprimé mathématiquement par l’équation suivante:

ṁ in = ṁ out + ∆m ⁄ ∆t

Masse entrant par unité de temps = masse quittant par unité de temps + Augmentation de la masse dans le volume de contrôle par unité de temps

Équation de continuité - Débits dans le réacteur
Exemple de débits dans un réacteur. C’est un exemple illustratif, les données ne représentent aucune conception de réacteur.

Cette équation décrit le flux à l’état non stable . Un écoulement à l’état non stationnaire fait référence à la situation dans laquelle les propriétés du fluide en un point quelconque du système peuvent changer au fil du temps. Un écoulement stable correspond à la situation dans laquelle les propriétés du fluide ( température, pression et vitesse ) en un point quelconque du système ne changent pas avec le temps . Mais l’une des propriétés les plus importantes et constantes dans un système à flux stationnaire est le débit massique du système. Cela signifie qu’il n’y a pas d’accumulation de masse au sein d’un composant du système.

Équation de continuité

L’équation de continuité est simplement une expression mathématique du principe de conservation de la masse. Pour un volume de contrôle qui a une seule entrée et une seule sortie , le principe de conservation de la masse stipule que, pour un débit en régime permanent , le débit massique dans le volume doit être égal au débit massique sortant.

ṁ in = ṁ out

Masse entrant par unité de temps = Masse sortant par unité de temps

Cette équation est appelée équation de continuité pour un écoulement unidimensionnel stable. Pour un débit constant à travers un volume de contrôle avec de nombreuses entrées et sorties, le débit massique net doit être nul, où les entrées sont négatives et les sorties sont positives.

Ce principe peut être appliqué à un streamtube tel que celui illustré ci-dessus. Aucun fluide ne s’écoule à travers la limite créée par les lignes de courant, de sorte que la masse entre et sort uniquement par les deux extrémités de cette section de tube de courant.

Lorsqu’un fluide est en mouvement, il doit se déplacer de manière à conserver la masse. Pour voir comment la conservation de la masse impose des restrictions sur le champ de vitesse, considérez l’écoulement régulier de fluide à travers un conduit (c’est-à-dire que les débits d’entrée et de sortie ne varient pas avec le temps).

Forme différentielle d’équation de continuité

Une équation générale de continuité peut également s’écrire sous une forme différentielle :

∂⍴ ⁄ ∂t + ∇. (⍴ ͞v) = σ

  • ∇. est la divergence,
  • ρ est la densité de la quantité q,
  • ⍴ ͞v est le flux de quantité q,
  • σ est la génération de q par unité de volume par unité de temps. Les termes qui génèrent (σ> 0) ou suppriment (σ <0) q sont appelés respectivement «sources» et «puits». Si q est une quantité conservée (telle que l’énergie), σ est égal à 0.

Équation de continuité – plusieurs entrées et sorties

Pour un volume de contrôle avec plusieurs entrées et sorties , le principe de conservation de la masse exige que la somme des débits massiques dans le volume de contrôle soit égale à la somme des débits massiques hors du volume de contrôle. L’équation de continuité pour cette situation plus générale s’exprime par l’équation suivante:

∑ṁ in = ∑ṁ out

Somme des débits massiques entrant par unité de temps = Somme des débits massiques sortant par unité de temps

Équation de continuité – Exemples

Débit à travers un cœur de réacteur

Dans cet exemple, nous calculerons le débit à travers un cœur de réacteur à partir de l’équation de continuité. Il s’agit d’un exemple illustratif, les données suivantes ne représentent aucune conception de réacteur.

ṁ in = ṁ out

(ρAv) in = (ρAv) out

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Graphique - densité - eau - température
Densité en fonction de la température de l’eau

Les réacteurs à eau sous pression sont refroidis et modérés par de l’eau liquide à haute pression ( par exemple 16 MPa ). À cette pression, l’eau bout à environ 350 ° C (662 ° F) . La température d’entrée de l’eau est d’environ 290 ° C ( ⍴ ~ 720 kg / m 3 ). L’eau (liquide de refroidissement) est chauffée dans le cœur du réacteur à environ 325 ° C ( 65 ~ 654 kg / m 3 ) lorsque l’eau s’écoule à travers le cœur.
Le circuit primaire d’un PWR typique est divisé en 4 boucles indépendantes (diamètre de la tuyauterie ~ 700 mm), chaque boucle comprend un générateur de vapeur et une pompe de refroidissement principale. À l’intérieur de la cuve du réacteur (RPV), le liquide de refroidissement descend d’abord à l’extérieur du cœur du réacteur (à travers le tuyau de descente ). Depuis le fond de l’enceinte sous pression, le flux est inversé vers le haut à travers le cœur , où la température du liquide de refroidissement augmente lors de son passage à travers les crayons de combustible et les assemblages formés par eux.

Calculer:

  • le débit volumétrique de la tuyauterie primaire (m 3 / s),
  • la vitesse d’écoulement de la tuyauterie primaire (m / s),
  • la vitesse d’écoulement à l’entrée du cœur (m / s),
  • la vitesse d’écoulement de sortie du cœur (m / s)

quand

  • le débit massique dans la branche chaude de la tuyauterie primaire est égal à 4648 kg / s ,
  • La section de flux du cœur du réacteur est égale à 5 m 2 ,
  • La section transversale du débit de la tuyauterie primaire (boucle unique) est égale à 0,38 m 2

Résultats:

Équation de continuité - Débits dans le réacteur
Exemple de débits dans un réacteur. Il s’agit d’un exemple illustratif, les données ne représentent aucune conception de réacteur.

Débit volumétrique jambe froide:

froid  = ṁ / ⍴ = 4648/720 = 6,46 m 3 / s = 23240 m 3 / hod

Vitesse d’écoulement des jambes froides:

1  = π.d deux / quatre

froid  = froid  / D 1  = 6,46 / (3,14 x 0,7 2 /4) = 6,46 / 0,38 = 17 m / s

Débit volumétrique de la jambe chaude:

chaud  = ṁ / ⍴ = 4648/654 = 7,11 m 3 / s = 25585 m 3 / hod

Vitesse d’écoulement des jambes chaudes:

A = π.d deux / quatre

chaud  = chaud  / A 1  = 7,11 / (3,14 x 0,7 2 /4) = 7,11 / 0,38 = 18,7 m / s

ou selon l’équation de continuité :

⍴ 1 . A 1 . v 1 = ⍴ 2 . A 2 . v 2

chaud = v froid . ⍴ froid / ⍴ chaud = 17 x 720/654 = 18,7 m / s

Vitesse d’écoulement à l’entrée du cœur:

Un noyau = 5m 2

tuyauterie = 4 x A 1 = 4 x 0,38 = 1,52 m 2

⍴ entrée = ⍴ froid

selon l’équation de continuité :

⍴ entrée . Un noyau . v entrée = ⍴ froid . Un passepoil . v froid

entrée = v froid . Une tuyauterie / un noyau A = 17 x 1,52 / 5 = 5,17 m / s

Vitesse d’écoulement de sortie du cœur:

⍴ entrée = ⍴ froid

⍴ sortie = ⍴ chaud

selon l’équation de continuité :

⍴ sortie . Un noyau . v sortie = ⍴ entrée . Un noyau . v entrée
sortie = v entrée . ⍴ entrée / ⍴ sortie = 5,17 x 720/654 = 5,69 m / s

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