Conservation de la quantité de mouvement dans la dynamique des fluides
En général , la loi de la conservation de la quantité de mouvement ou le principe de la conservation de la quantité de mouvement stipule que la force d’un système isolé est une constante . La somme vectorielle des impulsions (l’impulsion est égale à la masse d’un objet multipliée par sa vitesse) de tous les objets d’un système ne peut pas être modifiée par des interactions au sein du système. En mécanique classique, cette loi est impliquée par les lois de Newton .
En dynamique des fluides , l’analyse du mouvement est effectuée de la même manière qu’en mécanique des solides – en utilisant les lois du mouvement de Newton . Comme on peut le voir, les fluides en mouvement exercent des forces. La force de portance sur un aéronef est exercée par l’air se déplaçant au-dessus de l’aile.
Un jet d’eau d’un tuyau exerce une force sur tout ce qu’il frappe. Mais ici, il n’est pas clair quelle masse de fluide en mouvement nous devrions utiliser et il est donc nécessaire d’utiliser une forme différente de l’équation.
La 2ème loi de Newton peut être écrite:
Nous supposons que le fluide est à la fois régulier et incompressible . Pour déterminer le taux de changement de quantité de mouvement d’un fluide, considérons un tube de flux ( volume de contrôle ) comme nous l’avons fait pour l’ équation de Bernoulli . Dans ce volume de contrôle, toute modification de la quantité de mouvement du fluide dans un volume de contrôle est due à l’action de forces externes sur le fluide dans le volume.Comme on peut le voir sur l’image, la méthode du volume de contrôle peut être utilisée pour analyser la loi de conservation de la quantité de mouvement dans un fluide. Le volume de contrôle est une surface imaginaire renfermant un volume d’intérêt. Le volume de contrôle peut être fixe ou en mouvement, et il peut être rigide ou déformable. Afin de déterminer toutes les forces agissant sur les surfaces du volume de contrôle, nous devons résoudre les lois de conservation dans ce volume de contrôle.
La première équation de conservation à prendre en compte dans le volume de contrôle est l’ équation de continuité ( loi de la conservation de la matière ). Dans sa forme la plus simple, il est représenté par l’équation suivante:
∑ṁ in = ∑ṁ out
Somme des débits massiques entrant par unité de temps = Somme des débits massiques sortant par unité de temps
La deuxième équation de conservation que nous devons considérer dans le volume de contrôle est la formule de quantité de mouvement .
Formule Momentum
Dans sa forme la plus simple, la formule de l’ élan peut être représentée par l’équation suivante:
–
Choix d’un volume de contrôle
Un volume de contrôle peut être sélectionné comme n’importe quel volume arbitraire à travers lequel le fluide s’écoule. Ce volume peut être statique, mobile et même déformé pendant l’écoulement. Afin de résoudre tout problème, nous devons résoudre les lois de conservation de base dans ce volume. Il est très important de connaître toutes les vitesses d’écoulement relatives à la surface de contrôle et il est donc très important de définir exactement les limites du volume de contrôle lors d’une analyse.
Exemple: la force agissant sur un coude déflecteur
Un coude (disons de la tuyauterie primaire) est utilisé pour dévier le débit d’eau à une vitesse de 17 m / s . Le diamètre de la tuyauterie est égal à 700 mm . La pression manométrique à l’intérieur du tuyau est d’environ 16 MPa à la température de 290 ° C. Le fluide est de densité constante ⍴ ~ 720 kg / m 3 (à 290 ° C). L’angle du coude est de 45 ° .
Calculer la force sur la paroi d’un coude déflecteur (c.-à-d. Calculer le vecteur F 3 ).
Hypothèses:
- Le débit est régulier.
- Les pertes par friction sont négligeables.
- Le poids du coude est négligeable.
- Le poids de l’eau dans le coude est négligeable.
Nous prenons le coude comme volume de contrôle . Le volume de contrôle est indiqué sur l’image. L’équation de quantité de mouvement est une équation vectorielle, elle a donc trois composantes. Nous prenons les coordonnées x et z comme indiqué et nous résoudrons le problème séparément en fonction de ces coordonnées.
Tout d’abord, considérons le composant dans la coordonnée x . La conservation de l’équation du moment linéaire devient:
Deuxièmement, considérons le composant dans la coordonnée y . La conservation de l’équation du moment linéaire devient:
La force finale agissant sur la paroi d’un coude déflecteur sera:
Exemple: jet d’eau frappant une plaque fixe
Une plaque fixe (par exemple, la lame d’un moulin à eau) est utilisée pour dévier le débit d’eau à une vitesse de 1 m / s et à un angle de 90 ° . Il se produit à la pression atmosphérique et le débit massique est égal à Q = 1 m 3 / s .
- Calculez la force de pression.
- Calculez la force corporelle.
- Calculez la force totale.
- Calculez la force résultante.
Solution
- La force de pression est nulle car la pression à l’entrée et à la sortie du volume de contrôle est atmosphérique.
- Comme le volume de contrôle est petit, nous pouvons ignorer la force corporelle due au poids de la gravité.
- F x = ρ.Q. (w 1x – w 2x ) = 1000. 1 . (1 – 0) = 1000 N
F y = 0
F = (1000, 0) - La force résultante sur le plan est de la même amplitude mais dans le sens opposé à la force totale F (le frottement et le poids sont négligés).
Le jet d’eau exerce sur la plaque la force de 1000 N dans la direction x.
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