Qu’est-ce que l’équation thermique – Équation de conduction thermique – Définition

L’équation de conduction thermique est une équation différentielle partielle qui décrit la répartition de la chaleur (ou du champ de température) dans un corps donné dans le temps. Génie thermique

Équation thermique – Équation de conduction thermique

Combustible nucléaire - TempératuresDans les sections précédentes, nous avons traité en particulier du transfert de chaleur unidimensionnel à l’état stable, qui peut être caractérisé par la loi de Fourier de la conduction thermique. Mais son applicabilité est très limitée. Cette loi suppose un transfert de chaleur en régime permanent à travers un corps plan (notez que la loi de Fourier peut également être dérivée pour des coordonnées cylindriques et sphériques), sans source de chaleur . C’est simplement l’équation de vitesse dans ce mode de transfert de chaleur, où le gradient de température est connu.

Cependant, un problème majeur dans la plupart des analyses de conduction consiste à déterminer le champ de température dans un milieu résultant des conditions imposées à ses limites. En ingénierie, nous devons résoudre des problèmes de transfert de chaleur impliquant différentes géométries et différentes conditions, telles qu’un élément de combustible nucléaire cylindrique impliquant une source de chaleur interne ou la paroi d’un confinement sphérique. Ces problèmes sont plus complexes que les analyses planaires décrites dans les sections précédentes. Par conséquent, ces problèmes feront l’objet de la présente section, dans laquelle l’ équation de la conduction thermique sera introduite et résolue.

 

Équation générale de conduction thermique

L’ équation de conduction thermique est une équation différentielle partielle qui décrit la distribution de la chaleur (ou le champ de température ) dans un corps donné au fil du temps. Une connaissance détaillée du champ de température est très importante dans la conduction thermique à travers les matériaux. Une fois cette distribution de température connue, le flux de chaleur de conduction en tout point du matériau ou à sa surface peut être calculé à partir de la loi de Fourier .

L’équation de la chaleur est dérivée de la loi de Fourier et de la conservation de l’énergie . La loi de Fourier stipule que le taux de transfert de chaleur à travers un matériau est proportionnel au gradient négatif de la température et de la zone, perpendiculairement à ce gradient, à travers lequel la chaleur circule.

Loi de Fourier de la conduction thermique

Un changement d’énergie interne par unité de volume dans le matériau, ΔQ, est proportionnel au changement de température, Δu. C’est:

∆Q = ρ.c p .∆T

Forme générale

En utilisant ces deux équations, nous pouvons dériver l’équation générale de conduction thermique:

Équation de conduction thermique - Équation de Fourier-Biot

Cette équation est également connue sous le nom d’ équation de Fourier-Biot et fournit l’outil de base pour l’analyse de conduction thermique. A partir de sa solution, on peut obtenir le champ de température en fonction du temps.

En d’autres termes, l’ équation de conduction thermique indique que:

En tout point du milieu, le taux net de transfert d’énergie par conduction dans un volume unitaire plus le taux volumétrique de génération d’énergie thermique doit être égal au taux de variation de l’énergie thermique stockée dans le volume.

Conductivité thermique constanteCette équation peut être encore réduite en supposant que la conductivité thermique est constante et en introduisant la diffusivité thermique, α = k / ρc p :

équation de conduction thermique - conductivité constante

Conductivité thermique constante et transfert de chaleur en régime permanent – Équation de PoissonDes simplifications supplémentaires de la forme générale de l’équation de la chaleur sont souvent possibles. Par exemple, dans des conditions de régime permanent, il ne peut y avoir de changement dans la quantité de stockage d’énergie (∂T / ∂t = 0).

équation de conduction thermique - équation de Poisson

Équation de chaleur unidimensionnelle

L’une des hypothèses les plus puissantes est le cas particulier du transfert de chaleur unidimensionnel dans la direction x. Dans ce cas, les dérivées par rapport à y et z tombent et les équations ci-dessus se réduisent à (coordonnées cartésiennes):

équation de conduction thermique - unidimensionnelle

Conduction de chaleur en coordonnées cylindriques et sphériques

En ingénierie, il y a beaucoup de problèmes qui ne peuvent pas être résolus en coordonnées cartésiennes. Les systèmes cylindriques et sphériques sont très courants en thermique et en particulier en génie électrique. L’équation de la chaleur peut également être exprimée en coordonnées cylindriques et sphériques. L’ équation générale de la conduction thermique en coordonnées cylindriques peut être obtenue à partir d’un bilan énergétique sur un élément de volume en coordonnées cylindriques et en utilisant l’ opérateur de Laplace, Δ, sous la forme cylindrique et sphérique .

Coordonnées cylindriques:

équation de chaleur - coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques:

équation de chaleur - coordonnées sphériques

L’obtention de solutions analytiques à ces équations différentielles nécessite une connaissance des techniques de résolution des équations différentielles partielles, ce qui dépasse le cadre de ce texte. D’un autre côté, il existe de nombreuses simplifications et hypothèses qui peuvent être appliquées à ces équations et qui conduisent à des résultats très importants. Dans la section suivante, nous limitons notre examen aux cas unidimensionnels à l’état stationnaire avec une conductivité thermique constante, car ils entraînent des équations différentielles ordinaires.

Conditions limites et initiales

Comme pour une autre équation différentielle , la solution est donnée par les conditions aux limites et initiales . En ce qui concerne les conditions aux limites, il existe plusieurs possibilités communes qui sont simplement exprimées sous forme mathématique.

Parce que l’équation de la chaleur est de second ordre dans les coordonnées spatiales, pour décrire complètement un problème de transfert de chaleur, deux conditions aux limites doivent être données pour chaque direction du système de coordonnées le long de laquelle le transfert de chaleur est significatif. Par conséquent, nous devons spécifier quatre conditions aux limites pour les problèmes bidimensionnels et six conditions aux limites pour les problèmes tridimensionnels.

Quatre types de conditions aux limites couramment rencontrées dans le transfert de chaleur sont résumées dans la section suivante:

  • Conditions aux limites de Dirichlet
  • Condition aux limites de Neumann
  • Condition aux limites de convection
  • Condition aux limites de l’interface

 

Conduction avec génération de chaleur

Combustible nucléaire - TempératuresDans la section précédente, nous avons examiné les problèmes de conduction thermique sans source de chaleur interne . Pour ces problèmes, la distribution de la température dans un milieu a été déterminée uniquement par les conditions aux limites du milieu. Mais en ingénierie, nous pouvons souvent rencontrer un problème, dans lequel les sources de chaleur internes sont importantes et déterminent la distribution de température ainsi que les conditions aux limites.

En génie nucléaire , ces problèmes sont de la plus haute importance, car la plupart de la chaleur générée dans le combustible nucléaire est libérée à l’intérieur des pastilles de combustible et la distribution de la température est déterminée principalement par la distribution de génération de chaleur. Notez que, comme le montre la description des composants individuels de l’énergie totale dégagée lors de la réaction de fission, une quantité importante d’énergie est générée à l’extérieur du combustible nucléaire (à l’extérieur des crayons combustibles). En particulier, l’énergie cinétique des neutrons rapides est largement générée dans le liquide de refroidissement ( modérateur ) . Ce phénomène doit être inclus dans les calculs nucléaires.

Énergie nucléaire - Chaleur de désintégration
Sources d’énergie thermique dans le fonctionnement électrique d’un réacteur à eau sous pression

Pour le LWR , il est généralement admis qu’environ 2,5% de l’énergie totale est récupérée dans le modérateur . Cette fraction d’énergie dépend des matériaux, de leur disposition à l’intérieur du réacteur et donc du type de réacteur.

Notez que la génération de chaleur est un phénomène volumétrique. Autrement dit, il se produit dans tout le corps d’un support. Par conséquent, le taux de génération de chaleur dans un milieu est généralement spécifié par unité de volume et est noté V [W / m 3 ] .

La répartition de la température et, par conséquent, le flux de chaleur sont principalement déterminés par:

  • Géométrie et conditions aux limites . Une géométrie différente conduit à un champ de température complètement différent.
  • Taux de génération de chaleur . La baisse de température à travers le corps augmentera avec l’augmentation de la production de chaleur.
  • Conductivité thermique du milieu . Une conductivité thermique plus élevée entraînera une baisse de température plus faible.

Solution d’équation thermique

  • Conduction de chaleur dans un grand mur plan
  • Conduction de chaleur dans une barre de combustible
  • Répartition de la température dans la gaine de combustible

 

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