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Exemplo: a força que atua sobre um cotovelo defletor

Um cotovelo (digamos, da tubulação primária) é usado para desviar o fluxo de água a uma velocidade de 17 m / s . O diâmetro da tubulação é igual a 700 mm . A pressão manométrica no interior do tubo é de cerca de 16 MPa à temperatura de 290 ° C. Fluido é de densidade constante ⍴ ~ 720 kg / m ³ (a 290 ° C). O ângulo do cotovelo é de 45 ° .

Calcule a força na parede de um cotovelo defletor (ou seja, calcule o vetor F ₃ ).

Premissas:

• O fluxo é constante.
• As perdas por atrito são insignificantes.
• O peso do cotovelo é insignificante.
• O peso da água no cotovelo é insignificante.

Tomamos o cotovelo como o volume de controle . O volume de controle é mostrado na imagem. A equação do momento é uma equação vetorial, portanto possui três componentes. Tomamos as coordenadas x e z como mostrado e resolveremos o problema separadamente, de acordo com essas coordenadas.

Fórmula do Momento – Equação do Momento

Assumimos que o fluido seja estável e incompressível . Para determinar a taxa de mudança de momento de um fluido, consideraremos um tubo de fluxo ( volume de controle ), como fizemos na equação de Bernoulli . Nesse volume de controle, qualquer alteração no momento do fluido dentro de um volume de controle é devida à ação de forças externas no fluido dentro do volume.

Como pode ser visto na figura, o método do volume de controle pode ser usado para analisar a lei de conservação do momento no fluido. O volume de controle é uma superfície imaginária que encerra um volume de interesse. O volume de controle pode ser fixo ou móvel, e pode ser rígido ou deformável. Para determinar todas as forças que atuam nas superfícies do volume de controle, temos que resolver as leis de conservação nesse volume de controle.

A primeira equação de conservação que devemos considerar no volume de controle é a equação de continuidade ( a lei da conservação da massa ). Na forma mais simples, é representado pela seguinte equação:

∑ṁ _dentro = ∑ṁ _fora

Soma das taxas de fluxo de massa entrando por unidade de tempo = Soma das taxas de fluxo de massa saindo por unidade de tempo

A segunda equação de conservação que devemos considerar no volume de controle é a fórmula do momento . Na forma mais simples, a fórmula do momento pode ser representada pela seguinte equação:

–

Escolhendo um volume de controle

Um volume de controle pode ser selecionado como qualquer volume arbitrário através do qual o fluido flui. Esse volume pode ser estático, em movimento e até deformar durante o fluxo. Para resolver qualquer problema, precisamos resolver as leis básicas de conservação neste volume. É muito importante conhecer todas as velocidades de fluxo relativas à superfície de controle e, portanto, é muito importante definir exatamente os limites do volume de controle durante uma análise.

Exemplo: a força que atua sobre um cotovelo defletor

Um cotovelo (digamos da tubulação primária) é usado para desviar o fluxo de água a uma velocidade de 17 m / s . O diâmetro da tubulação é igual a 700 mm . A pressão manométrica no interior do tubo é de cerca de 16 MPa à temperatura de 290 ° C. Fluido é de densidade constante ⍴ ~ 720 kg / m ³ (a 290 ° C). O ângulo do cotovelo é de 45 ° .

Calcule a força na parede de um cotovelo defletor (ou seja, calcule o vetor F ₃ ).

Premissas:

• O fluxo é constante.
• As perdas por atrito são insignificantes.
• O peso do cotovelo é insignificante.
• O peso da água no cotovelo é insignificante.

Tomamos o cotovelo como o volume de controle . O volume de controle é mostrado na imagem. A equação do momento é uma equação vetorial, portanto possui três componentes. Tomamos as coordenadas x e z como mostrado e resolveremos o problema separadamente, de acordo com essas coordenadas.

Primeiro, vamos considerar o componente na coordenada x . A conservação da equação do momento linear se torna:

Segundo, vamos considerar o componente na coordenada y . A conservação da equação do momento linear se torna:

A força final que atua na parede de um cotovelo defletor será:

Exemplo: jato de água atingindo uma placa estacionária

Uma placa estacionária (por exemplo, lâmina de um moinho de água) é usada para desviar o fluxo de água a uma velocidade de 1 m / se a um ângulo de 90 ° . Ocorre à pressão atmosférica e a vazão mássica é igual a Q = 1 m ³ / s .

1. Calcule a força da pressão.
2. Calcule a força do corpo.
3. Calcule a força total.
4. Calcule a força resultante.

Solução

1. A força da pressão é zero, pois a pressão na entrada e nas saídas do volume de controle é atmosférica.
2. Como o volume de controle é pequeno, podemos ignorar a força do corpo devido ao peso da gravidade.
3. F _x = ρ.Q. (w _1x – w _2x ) = 1000. 1 (1 – 0) = 1000 N
   F _y = 0
   F = (1000, 0)
4. A força resultante no plano é da mesma magnitude, mas na direção oposta à força total F (atrito e peso são negligenciados).

O jato de água exerce sobre a placa a força de 1000 N na direção x.

Conservação do Momento na Dinâmica de Fluidos

Em geral , a lei de conservação do momento ou o princípio da conservação do momento afirma que o momento de um sistema isolado é uma constante . A soma vetorial do momento (momento é igual à massa de um objeto multiplicado por sua velocidade) de todos os objetos de um sistema não pode ser alterada por interações no sistema. Na mecânica clássica, essa lei está implícita nas leis de Newton .

Na dinâmica de fluidos , a análise do movimento é realizada da mesma maneira que na mecânica dos sólidos – pelo uso das leis do movimento de Newton . Como pode ser visto, os fluidos em movimento exercem forças. A força de sustentação de uma aeronave é exercida pelo ar que se move sobre a asa.

Um jato de água de uma mangueira exerce força sobre o que quer que seja atingido. Mas aqui não está claro qual massa de fluido em movimento devemos usar e, portanto, é necessário usar uma forma diferente da equação.

A 2ª Lei de Newton pode ser escrita:

Assumimos que o fluido seja estável e incompressível . Para determinar a taxa de mudança de momento de um fluido, consideraremos um tubo de fluxo ( volume de controle ), como fizemos na equação de Bernoulli . Nesse volume de controle, qualquer alteração no momento do fluido dentro de um volume de controle é devida à ação de forças externas no fluido dentro do volume.Como pode ser visto na figura, o método do volume de controle pode ser usado para analisar a lei de conservação do momento no fluido. O volume de controle é uma superfície imaginária que encerra um volume de interesse. O volume de controle pode ser fixo ou móvel, e pode ser rígido ou deformável. Para determinar todas as forças que atuam nas superfícies do volume de controle, temos que resolver as leis de conservação nesse volume de controle.

A primeira equação de conservação que devemos considerar no volume de controle é a equação de continuidade ( a lei da conservação da massa ). Na forma mais simples, é representado pela seguinte equação:

∑ṁ _dentro = ∑ṁ _fora

Equação de Bernoulli estendida

Existem duas premissas principais , que foram aplicadas na derivação da equação de Bernoulli simplificada .

• A primeira restrição à equação de Bernoulli é que nenhum trabalho pode ser realizado no fluido ou por ele. Essa é uma limitação significativa, porque a maioria dos sistemas hidráulicos (especialmente em engenharia nuclear ) inclui bombas. Essa restrição impede que dois pontos em uma corrente de fluido sejam analisados ​​se existir uma bomba entre os dois pontos.

• A segunda restrição à equação simplificada de Bernoulli é que nenhum atrito de fluido é permitido na solução de problemas hidráulicos. Na realidade, o atrito desempenha papel crucial . A cabeça total possuída pelo fluido não pode ser transferida completamente e sem perdas de um ponto para outro. Na realidade, um objetivo das bombas incorporadas em um sistema hidráulico é superar as perdas de pressão devido ao atrito.

Devido a essas restrições, a maioria das aplicações práticas da equação de Bernoulli simplificada para sistemas hidráulicos reais é muito limitada. Para lidar com as perdas de carga e o trabalho da bomba, a equação de Bernoulli simplificada deve ser modificada .

A equação de Bernoulli pode ser modificada para levar em conta ganhos e perdas de cabeça . A equação resultante, denominada equação de Bernoulli estendida , é muito útil na solução da maioria dos problemas de fluxo de fluidos. A equação a seguir é uma forma da equação de Bernoulli estendida.

em que:
h = altura acima do nível de referência (m)
v = velocidade média do fluido (m / s)
p = pressão do fluido (Pa)
H _bomba = cabeçote adicionado pela bomba (m)
H _atrito = perda de cabeçote devido ao atrito do fluido ( m)
g = aceleração devido à gravidade (m / s ² )

A perda de carga (ou a perda de pressão) devido à fricção de fluido (H _atrito ) representa a energia utilizada para vencer o atrito causado por as paredes do tubo. A perda de carga que ocorre nos tubos é dependente da velocidade do fluxo, diâmetro e comprimento do tubo , e um fator de atrito baseado na rugosidade do tubo e no número de Reynolds do fluxo. Um sistema de tubulação contendo muitos encaixes e juntas de tubos, convergência de tubos, divergência, espiras, rugosidade da superfície e outras propriedades físicas também aumentará a perda de carga de um sistema hidráulico.

Embora a perda de carga represente uma perda de energia , ela não representa uma perda de energia total do fluido. A energia total do fluido conserva como conseqüência da lei de conservação de energia . Na realidade, a perda de carga devido ao atrito resulta em um aumento equivalente na energia interna (aumento da temperatura) do fluido.

A maioria dos métodos para avaliar a perda de carga por atrito é baseada quase que exclusivamente em evidências experimentais. Isso será discutido nas próximas seções.

Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli pode ser considerada uma afirmação do princípio de conservação de energia apropriado para fluidos fluidos. É uma das equações mais importantes / úteis na mecânica de fluidos . Ele coloca em uma relação pressão e velocidade um fluxo incompreensível inviscível . A equação de Bernoulli tem algumas restrições em sua aplicabilidade, resumidas nos seguintes pontos:

• sistema de fluxo constante,
• a densidade é constante (o que também significa que o fluido é incompressível),
• nenhum trabalho é feito sobre ou pelo fluido,
• nenhum calor é transferido para ou a partir do fluido,
• nenhuma mudança ocorre na energia interna,
• a equação relaciona os estados em dois pontos ao longo de uma única linha de fluxo (não condições em duas linhas de fluxo diferentes)

Sob essas condições, a equação geral de energia é simplificada para:

Essa equação é a mais famosa da dinâmica de fluidos . A equação de Bernoulli descreve o comportamento qualitativo que flui fluido que geralmente é rotulado com o termo efeito de Bernoulli . Esse efeito causa a redução da pressão do fluido em regiões onde a velocidade do fluxo é aumentada. Esse abaixamento da pressão em uma constrição de um caminho de fluxo pode parecer contra-intuitivo, mas parece menos quando você considera a pressão como densidade de energia. No fluxo de alta velocidade através da constrição, a energia cinética deve aumentar à custa da energia de pressão. As dimensões dos termos na equação são energia cinética por unidade de volume.

Efeito de Bernoulli – Relação entre pressão e velocidade

É um exemplo ilustrativo, os dados a seguir não correspondem a nenhum projeto de reator.

Quando a equação de Bernoulli é combinada com a equação de continuidade, as duas podem ser usadas para encontrar velocidades e pressões em pontos do fluxo conectados por uma linha de corrente.

A equação de continuidade é simplesmente uma expressão matemática do princípio de conservação de massa . Para um volume de controle que possui uma única entrada e uma única saída , o princípio de conservação de massa afirma que, para o fluxo em estado estacionário , a taxa de fluxo de massa no volume deve ser igual à taxa de fluxo de massa.

Exemplo:

Determine a pressão e a velocidade dentro de uma perna fria da tubulação primária e determine a pressão e a velocidade no fundo de um núcleo do reator , que fica cerca de 5 metros abaixo da perna fria da tubulação primária.

Vamos assumir:

• Fluido de densidade constante ⍴ ~ 720 kg / m ³ (a 290 ° C) está fluindo continuamente através da perna fria e através da parte inferior do núcleo.

• A seção transversal do fluxo da tubulação primária (loop único) é igual a 0,385 m ² (diâmetro da tubulação ~ 700 mm)

• A velocidade do fluxo na perna fria é igual a 17 m / s .

• A seção transversal do fluxo do núcleo do reator é igual a 5m ² .

• A pressão manométrica dentro da perna fria é igual a 16 MPa .

Como resultado do princípio da continuidade, a velocidade na parte inferior do núcleo é:

v _entrada = v _frio . Uma _tubulação / _núcleo A = 17 x 1,52 / 5 = 5,17 m / s

Como resultado do princípio de Bernoulli, a pressão na parte inferior do núcleo (entrada do núcleo) é:

Conservação de energia

Esse princípio é geralmente conhecido como o princípio de conservação de energia e afirma que a energia total de um sistema isolado permanece constante – diz-se que é conservada ao longo do tempo. Isso é equivalente à Primeira Lei da Termodinâmica , que é usada para desenvolver a equação geral de energia na termodinâmica. Este princípio pode ser usado na análise de fluxo de fluidos e este princípio é expressa matematicamente pela seguinte equação:onde h é entalpia , k é a condutividade térmica do fluido, T é a temperatura e Φ é a função de dissipação viscosa.

Teorema de Bernoulli

O teorema de Bernoulli  pode ser considerado uma afirmação do princípio de conservação de energia apropriado para fluidos fluidos. É uma das equações mais importantes / úteis na mecânica de fluidos . Ele coloca em uma relação pressão e velocidade em um fluxo incompreensível inviscível . A equação de Bernoulli tem algumas restrições em sua aplicabilidade, resumidas nos seguintes pontos:

• sistema de fluxo constante,
• a densidade é constante (o que também significa que o fluido é incompressível),
• nenhum trabalho é feito sobre ou pelo fluido,
• nenhum calor é transferido para ou a partir do fluido,
• nenhuma mudança ocorre na energia interna,
• a equação relaciona os estados em dois pontos ao longo de uma única linha de fluxo (não condições em duas linhas de fluxo diferentes)

Sob essas condições, a equação geral de energia é simplificada para:

Esta equação é a equação mais famosa na dinâmica de fluidos . A equação de Bernoulli descreve o comportamento qualitativo que flui fluido que geralmente é rotulado com o termo efeito de Bernoulli . Esse efeito causa a redução da pressão do fluido em regiões onde a velocidade do fluxo é aumentada. Esse abaixamento da pressão em uma constrição de um caminho de fluxo pode parecer contra-intuitivo, mas parece menos quando você considera a pressão como densidade de energia. No fluxo de alta velocidade através da constrição, a energia cinética deve aumentar à custa da energia de pressão. As dimensões dos termos na equação são energia cinética por unidade de volume.