Wärmeleitung in einer großen ebenen Wand
Wärmeleitung in einer großen ebenen Wand
Man betrachte die ebene Wand mit der Dicke 2L, in der pro Volumeneinheit eine gleichmäßige und konstante Wärmeentwicklung auftritt , q V [W / m 3 ] . Die Mittelebene wird als Ursprung für x genommen und die Platte erstreckt sich nach rechts bis + L und nach links bis – L. Für eine konstante Wärmeleitfähigkeit k lautet die geeignete Form der Wärmegleichung:
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:
wobei C 1 und C 2 die Integrationskonstanten sind.
1)
Berechnen Sie die Temperaturverteilung T (x) durch diese dicke ebene Wand, wenn:
- Die Temperaturen an beiden Oberflächen betragen 15,0 ° C.
- Die Dicke dieser Wand beträgt 2L = 10 mm.
- Die Materialleitfähigkeit beträgt k = 2,8 W / mK (entspricht Urandioxid bei 1000 ° C).
- Die volumetrische Heizrate beträgt q V = 10 6 W / m 3
In diesem Fall werden die Oberflächen bei gegebenen Temperaturen T s, 1 und T s, 2 gehalten . Dies entspricht der Dirichlet-Randbedingung . Darüber hinaus ist dieses Problem thermisch symmetrisch und daher können wir auch die thermische Symmetrie-Randbedingung verwenden . Die Konstanten können durch Substitution in die allgemeine Lösung bewertet werden und haben die Form:
Die resultierende Temperaturverteilung und die Mittellinientemperatur (x = 0) (Maximum) in dieser ebenen Wand bei diesen spezifischen Randbedingungen sind:
Der Wärmefluss an jedem Punkt q x [Wm -2 ] in der Wand kann natürlich unter Verwendung der Temperaturverteilung und nach dem Fourier-Gesetz bestimmt werden . Beachten Sie, dass mit der Wärmeerzeugung der Wärmefluss nicht mehr unabhängig von x ist, daher:
Beispiel einer Wärmegleichung – Problem mit der Lösung
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