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Conducción de calor en una barra de combustible

Conducción de calor en una barra de combustible

La mayoría de los PWR utilizan el combustible de uranio , que está en forma de dióxido de uranio . El dióxido de uranio es un sólido semiconductor negro con muy baja conductividad térmica. Por otro lado, el dióxido de uranio tiene un punto de fusión muy alto y tiene un comportamiento bien conocido. El UO ₂ se presiona en gránulos cilíndricos , estos gránulos se sinterizan en el sólido.

Estos gránulos cilíndricos se cargan y encapsulan dentro de una barra de combustible (o pasador de combustible), que está hecha de aleaciones de circonio debido a su sección transversal de muy baja absorción (a diferencia del acero inoxidable). La superficie del tubo, que cubre los gránulos, se llama revestimiento de combustible .

Ver también:  conducción térmica de dióxido de uranio

El comportamiento térmico y mecánico de las pastillas de combustible  y las barras de combustible constituyen una de las tres disciplinas clave de diseño principales. El combustible nuclear se opera en condiciones muy inhóspitas (térmicas, de radiación, mecánicas) y debe soportar un funcionamiento superior al normal. Por ejemplo, las temperaturas en el centro de los gránulos de combustible alcanzan más de 1000 ° C (1832 ° F) acompañadas de liberaciones de gases de fisión. Por lo tanto, el conocimiento detallado de la distribución de temperatura dentro de una sola barra de combustible es esencial para la operación segura del combustible nuclear. En esta sección estudiaremos la ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas.usando la condición de límite de Dirichlet con la temperatura de superficie dada (es decir, usando la condición de límite de Dirichlet). El análisis exhaustivo del perfil de temperatura de la barra de combustible se estudiará en una sección separada.

Temperatura en la línea central de una pastilla de combustible

Considere la pastilla de combustible de radio r _U = 0.40 cm , en la cual hay una generación de calor uniforme y constante por unidad de volumen, q _V [W / m ³ ] . En lugar de la tasa de calor volumétrica q _V [W / m ³ ], los ingenieros a menudo usan la tasa de calor lineal, q _L [W / m] , que representa la tasa de calor de un metro de varilla de combustible. La tasa de calor lineal se puede calcular a partir de la tasa de calor volumétrica mediante:

La línea central se toma como el origen de la coordenada r. Debido a la simetría en la dirección z y en la dirección azimutal, podemos separar las variables y simplificar este problema a un problema unidimensional . Por lo tanto, resolveremos la temperatura solo en función del radio, T (r) . Para una conductividad térmica constante , k, la forma apropiada de la ecuación de calor cilíndrica , es:

La solución general de esta ecuación es:

donde C ₁ y C ₂ son las constantes de la integración.

Calcule la distribución de temperatura, T (r) , en esta pastilla de combustible, si:

• las temperaturas en la superficie del pellet de combustible son T _U = 420 ° C
• el radio de la pastilla de combustible r _U = 4 mm .
• la conductividad promedio del material es k = 2.8 W / mK (corresponde a dióxido de uranio a 1000 ° C)
• la tasa de calor lineal es q _L = 300 W / cm y, por lo tanto, la tasa de calor volumétrica es q _V = 597 x 10 ⁶ W / m ³

En este caso, la superficie se mantiene a temperaturas dadas T _U . Esto corresponde a la condición límite de Dirichlet . Además, este problema es térmicamente simétrico y, por lo tanto, podemos usar también la condición de límite de simetría térmica . Las constantes pueden evaluarse utilizando la sustitución en la solución general y tienen la forma:

La distribución de temperatura resultante y la temperatura de la línea central (r = 0) (máxima) en esta pastilla de combustible cilíndrica en estas condiciones límite específicas serán:

El flujo de calor radial en cualquier radio, q _r [Wm ^-1 ], en el cilindro puede, por supuesto, determinarse usando la distribución de temperatura y con la ley de Fourier . Tenga en cuenta que, con la generación de calor, el flujo de calor ya no es independiente de r.

La siguiente figura muestra la distribución de temperatura en la pastilla de combustible a varios niveles de potencia.

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La temperatura en un reactor en funcionamiento varía de un punto a otro dentro del sistema. Como consecuencia, siempre hay una barra de combustible y un volumen local , que están más calientes  que el resto. Con el fin de limitar estos lugares calientes los límites de potencia de pico deben ser introducidos. Los límites de potencia máxima están asociados con una crisis de ebullición y con las condiciones que podrían causar el derretimiento de los pellets de combustible. Sin embargo, las consideraciones metalúrgicas imponen límites superiores a la temperatura del revestimiento de combustible y la pastilla de combustible. Por encima de estas temperaturasExiste el peligro de que el combustible se dañe. Uno de los objetivos principales en el diseño de reactores nucleares es proporcionar la eliminación del calor producido al nivel de potencia deseado, mientras se asegura que la temperatura máxima del combustible y la temperatura máxima del revestimiento estén siempre por debajo de estos valores predeterminados.

Conducción con generación de calor.

Conducción con generación de calor.

En la sección anterior consideramos problemas de conducción térmica sin fuentes internas de calor . Para estos problemas, la distribución de temperatura en un medio se determinó únicamente por las condiciones en los límites del medio. Pero en ingeniería a menudo podemos encontrar un problema, en el que las fuentes de calor internas son significativas y determinan la distribución de temperatura junto con las condiciones de contorno.

En ingeniería nuclear , estos problemas son de suma importancia, ya que la mayor parte del calor generado en el combustible nuclear se libera dentro de los gránulos de combustible y la distribución de temperatura está determinada principalmente por la distribución de generación de calor. Tenga en cuenta que, como se puede ver en la descripción de los componentes individuales de la energía energética total liberada durante la reacción de fisión, se genera una cantidad significativa de energía fuera del combustible nuclear (barras de combustible externas). Especialmente la energía cinética de los neutrones rápidos se genera en gran medida en el refrigerante ( moderador ) . Este fenómeno necesita ser incluido en los cálculos nucleares.

Para LWR , generalmente se acepta que aproximadamente el 2.5% de la energía total se recupera en el moderador . Esta fracción de energía depende de los materiales, su disposición dentro del reactor y, por lo tanto, del tipo de reactor.

Tenga en cuenta que la generación de calor es un fenómeno volumétrico. Es decir, ocurre en todo el cuerpo de un medio. Por lo tanto, la tasa de generación de calor en un medio generalmente se especifica por unidad de volumen y se denota por g _V [W / m ³ ] .

La distribución de temperatura y, en consecuencia, el flujo de calor está determinada principalmente por:

• Geometría y condiciones de contorno . Geometría diferente conduce a un campo de temperatura completamente diferente.
• Tasa de generación de calor . La caída de temperatura a través del cuerpo aumentará con el aumento de la generación de calor.
• Conductividad térmica del medio . Una conductividad térmica más alta conducirá a una caída de temperatura más baja.

Ecuación de calor en coordenadas cilíndricas y esféricas

En ingeniería, hay muchos problemas que no se pueden resolver en coordenadas cartesianas. Los sistemas cilíndricos y esféricos son muy comunes en térmica y especialmente en ingeniería de energía. La ecuación de calor también se puede expresar en coordenadas cilíndricas y esféricas. La ecuación general de conducción de calor en coordenadas cilíndricas puede obtenerse a partir de un balance de energía en un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas y utilizando el operador de Laplace, Δ, en forma cilíndrica y esférica .

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas

La obtención de soluciones analíticas para estas ecuaciones diferenciales requiere un conocimiento de las técnicas de solución de ecuaciones diferenciales parciales, que está más allá del alcance de este texto. Por otro lado, hay muchas simplificaciones y suposiciones que se pueden aplicar a estas ecuaciones y que conducen a resultados muy importantes. En la siguiente sección, limitamos nuestra consideración a casos de estado estacionario unidimensionales con conductividad térmica constante, ya que resultan en ecuaciones diferenciales ordinarias.

Límite adiabático – simetría térmica

Límite adiabático – simetría térmica

Caso especial – Límite adiabático – Límite perfectamente aislado

Un caso especial de esta condición corresponde a la superficie perfectamente aislada para la cual (∂T / ∂x = 0). La transferencia de calor a través de una superficie adecuadamente aislada puede considerarse cero, ya que un aislamiento adecuado reduce la transferencia de calor a través de una superficie a niveles insignificantes. Matemáticamente, esta condición límite puede expresarse como:

Caso Especial – Simetría Térmica

Otro caso muy importante, que puede usarse para resolver problemas de transferencia de calor que involucran barras de combustible, es la simetría térmica. Por ejemplo, las dos superficies de una gran placa caliente de espesor L suspendida verticalmente en el aire estarán sujetas a las mismas condiciones térmicas y, por lo tanto, la distribución de temperatura será simétrica (es decir, en la mitad de la placa tendrá el mismo perfil de temperatura que eso en la otra mitad). Como resultado, debe haber un máximo en la línea central de la placa y la línea central puede verse como una superficie aislada (∂T / ∂x = 0). La condición térmica en este plano de simetría se puede expresar como:

Ver también: Condición límite de Neumann

Condición de límite de interfaz

En problemas de transferencia de calor, la condición de límite de la interfaz se puede usar cuando el material está compuesto de capas de diferentes materiales. La solución de un problema de transferencia de calor en dicho medio requiere la solución del problema de transferencia de calor en cada capa y se debe especificar una condición de interfaz en cada interfaz. Las condiciones de límite de la interfaz en una interfaz se basan en los dos requisitos siguientes:

• dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto (es decir, un contacto ideal sin resistencia de contacto)
• una interfaz no puede almacenar ninguna energía y, por lo tanto, la conducción de calor en la superficie del primer material es igual a la conducción de calor en la superficie del segundo material

Cabe destacar que cuando los componentes se atornillan o se presionan juntos, también se necesita un conocimiento del rendimiento térmico de tales juntas. En estos sistemas compuestos, la caída de temperatura a través de la interfaz entre materiales puede ser apreciable. Esta caída de temperatura se caracteriza por el coeficiente de conductancia de contacto térmico , h _c , que es una propiedad que indica la conductividad térmica, o la capacidad de conducir calor, entre dos cuerpos en contacto.

La condición de límite de la interfaz puede expresarse matemáticamente de la manera representada en la figura.

Ecuación general de conducción de calor

La ecuación de conducción de calor es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de calor (o el campo de temperatura ) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo. El conocimiento detallado del campo de temperatura es muy importante en la conducción térmica a través de materiales. Una vez que se conoce esta distribución de temperatura, el flujo de calor de conducción en cualquier punto del material o en su superficie puede calcularse a partir de la ley de Fourier .

La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía . La ley de Fourier establece que la tasa de tiempo de transferencia de calor a través de un material es proporcional al gradiente negativo en la temperatura y al área, en ángulo recto a ese gradiente, a través del cual fluye el calor.

Un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ΔQ, es proporcional al cambio de temperatura, Δu. Es decir:

∆Q = ρ.c _p .∆T

Forma general

Usando estas dos ecuaciones podemos derivar la ecuación general de conducción de calor:

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de Fourier-Biot , y proporciona la herramienta básica para el análisis de conducción de calor. A partir de su solución, podemos obtener el campo de temperatura en función del tiempo.

En palabras, la ecuación de conducción de calor establece que:

En cualquier punto del medio, la tasa neta de transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la tasa volumétrica de generación de energía térmica debe ser igual a la tasa de cambio de energía térmica almacenada dentro del volumen.

Condición de contorno de convección

En problemas de transferencia de calor, la condición de límite de convección, conocida también como la  condición de límite de Newton, corresponde a la existencia de calentamiento por convección (o enfriamiento) en la superficie y se obtiene del balance energético de la superficie. La condición límite de convección es probablemente la condición límite más común que se encuentra en la práctica, ya que la mayoría de las superficies de transferencia de calor están expuestas a un entorno convectivo a parámetros específicos.

En otras palabras, esta condición supone que la conducción de calor en la superficie del material es igual a la convección de calor en la superficie en la misma dirección. Dado que el límite no puede almacenar energía, el calor neto que ingresa a la superficie desde el lado convectivo debe abandonar la superficie desde el lado de conducción.

Del mismo modo, la condición de límite de radiación se puede construir y utilizar.

Ecuación general de conducción de calor

La ecuación de conducción de calor es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de calor (o el campo de temperatura ) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo. El conocimiento detallado del campo de temperatura es muy importante en la conducción térmica a través de materiales. Una vez que se conoce esta distribución de temperatura, el flujo de calor de conducción en cualquier punto del material o en su superficie puede calcularse a partir de la ley de Fourier .

La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía . La ley de Fourier establece que la tasa de tiempo de transferencia de calor a través de un material es proporcional al gradiente negativo en la temperatura y al área, en ángulo recto a ese gradiente, a través del cual fluye el calor.

Un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ΔQ, es proporcional al cambio de temperatura, Δu. Es decir:

∆Q = ρ.c _p .∆T

Forma general

Usando estas dos ecuaciones podemos derivar la ecuación general de conducción de calor:

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de Fourier-Biot , y proporciona la herramienta básica para el análisis de conducción de calor. A partir de su solución, podemos obtener el campo de temperatura en función del tiempo.

En palabras, la ecuación de conducción de calor establece que:

En cualquier punto del medio, la tasa neta de transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la tasa volumétrica de generación de energía térmica debe ser igual a la tasa de cambio de energía térmica almacenada dentro del volumen.

Condición límite de Dirichlet – Condición límite de tipo I

En matemáticas, la condición límite de Dirichlet (o primer tipo) es un tipo de condición límite, que lleva el nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Cuando se impone en una ecuación diferencial ordinaria o parcial, la condición especifica los valores en los que se aplica la derivada de una solución dentro del límite del dominio.

En problemas de transferencia de calor, esta condición corresponde a una temperatura de superficie fija dada . La condición límite de Dirichlet es muy aproximada, por ejemplo, cuando la superficie está en contacto con un sólido fundido o un líquido hirviendo. En ambos casos, hay transferencia de calor en la superficie, mientras que la superficie permanece a la temperatura del proceso de cambio de fase.

Ecuación general de conducción de calor

La ecuación de conducción de calor es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de calor (o el campo de temperatura ) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo. El conocimiento detallado del campo de temperatura es muy importante en la conducción térmica a través de materiales. Una vez que se conoce esta distribución de temperatura, el flujo de calor de conducción en cualquier punto del material o en su superficie puede calcularse a partir de la ley de Fourier .

La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía . La ley de Fourier establece que la tasa de tiempo de transferencia de calor a través de un material es proporcional al gradiente negativo en la temperatura y al área, en ángulo recto a ese gradiente, a través del cual fluye el calor.

Un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ΔQ, es proporcional al cambio de temperatura, Δu. Es decir:

∆Q = ρ.c _p .∆T

Forma general

Usando estas dos ecuaciones podemos derivar la ecuación general de conducción de calor:

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de Fourier-Biot , y proporciona la herramienta básica para el análisis de conducción de calor. A partir de su solución, podemos obtener el campo de temperatura en función del tiempo.

En palabras, la ecuación de conducción de calor establece que:

En cualquier punto del medio, la tasa neta de transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la tasa volumétrica de generación de energía térmica debe ser igual a la tasa de cambio de energía térmica almacenada dentro del volumen.

Condición límite de Neumann – Condición límite de tipo II

En matemáticas, la condición límite de Neumann (o segundo tipo) es un tipo de condición límite, que lleva el nombre de un matemático alemán Carl Neumann (1832-1925). Cuando se impone en una ecuación diferencial ordinaria o parcial, especifica los valores que una solución necesita tomar a lo largo del límite del dominio.

En problemas de transferencia de calor, la condición de Neumann corresponde a una tasa dada de cambio de temperatura . En otras palabras, esta condición supone que se conoce el flujo de calor en la superficie del material. El flujo de calor en la dirección x positiva en cualquier parte del medio, incluidos los límites, puede expresarse mediante la ley de conducción de calor de Fourier .

Caso especial – Límite adiabático – Límite perfectamente aislado

Un caso especial de esta condición corresponde a la superficie perfectamente aislada para la cual (∂T / ∂x = 0). La transferencia de calor a través de una superficie adecuadamente aislada puede considerarse cero, ya que un aislamiento adecuado reduce la transferencia de calor a través de una superficie a niveles insignificantes. Matemáticamente, esta condición límite puede expresarse como:

Caso Especial – Simetría Térmica

Otro caso muy importante, que puede usarse para resolver problemas de transferencia de calor que involucran barras de combustible, es la simetría térmica. Por ejemplo, las dos superficies de una gran placa caliente de espesor L suspendida verticalmente en el aire estarán sujetas a las mismas condiciones térmicas y, por lo tanto, la distribución de temperatura será simétrica (es decir, en la mitad de la placa tendrá el mismo perfil de temperatura que eso en la otra mitad). Como resultado, debe haber un máximo en la línea central de la placa y la línea central puede verse como una superficie aislada (∂T / ∂x = 0). La condición térmica en este plano de simetría se puede expresar como:

Ecuación general de conducción de calor

La ecuación de conducción de calor es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de calor (o el campo de temperatura ) en un cuerpo dado a lo largo del tiempo. El conocimiento detallado del campo de temperatura es muy importante en la conducción térmica a través de materiales. Una vez que se conoce esta distribución de temperatura, el flujo de calor de conducción en cualquier punto del material o en su superficie puede calcularse a partir de la ley de Fourier .

La ecuación del calor se deriva de la ley de Fourier y la conservación de la energía . La ley de Fourier establece que la tasa de tiempo de transferencia de calor a través de un material es proporcional al gradiente negativo en la temperatura y al área, en ángulo recto a ese gradiente, a través del cual fluye el calor.

Un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ΔQ, es proporcional al cambio de temperatura, Δu. Es decir:

∆Q = ρ.c _p .∆T

Forma general

Usando estas dos ecuaciones podemos derivar la ecuación general de conducción de calor:

Esta ecuación también se conoce como la ecuación de Fourier-Biot , y proporciona la herramienta básica para el análisis de conducción de calor. A partir de su solución, podemos obtener el campo de temperatura en función del tiempo.

En palabras, la ecuación de conducción de calor establece que:

En cualquier punto del medio, la tasa neta de transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la tasa volumétrica de generación de energía térmica debe ser igual a la tasa de cambio de energía térmica almacenada dentro del volumen.

Difusividad Térmica

En el análisis de transferencia de calor, la relación entre la conductividad térmica y la capacidad calorífica específica a presión constante es una propiedad importante denominada difusividad térmica . La difusividad térmica aparece en el análisis de conducción de calor transitorio y en la ecuación de calor.

Representa qué tan rápido se difunde el calor a través de un material y tiene unidades m ² / s. En otras palabras, es la medida de la inercia térmica de un material dado. La difusividad térmica generalmente se denota α y viene dada por:

Como puede verse, mide la capacidad de un material para conducir energía térmica (representada por el factor k) en relación con su capacidad de almacenar energía térmica (representada por el factor ρ.c _p ). Los materiales de α grande responderán rápidamente a los cambios en su entorno térmico, mientras que los materiales de α pequeño responderán más lentamente (el calor se absorbe principalmente), lo que demorará más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.

Difusividad térmica en la ecuación de conducción de calor

Conductividad térmica constante

Esta ecuación se puede reducir aún más suponiendo que la conductividad térmica sea constante e introduciendo la difusividad térmica, α = k / ρc _p :

Conductividad térmica constante y transferencia de calor en estado estable: ecuación de Poisson

Ecuación de Poisson – Transferencia de calor en estado estacionario

A menudo son posibles simplificaciones adicionales de la forma general de la ecuación de calor. Por ejemplo, en condiciones de estado estable, no puede haber cambios en la cantidad de almacenamiento de energía (∂T / ∂t = 0).

Ecuación de calor unidimensional

Una de las suposiciones más poderosas es que el caso especial de transferencia de calor unidimensional en la dirección x. En este caso, las derivadas con respecto a y y z caen y las ecuaciones anteriores se reducen a (coordenadas cartesianas):