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Número crítico de Reynolds

O número de Reynolds  é a razão de  forças inerciais para  forças  viscosas  e é um parâmetro conveniente para prever se uma condição de fluxo será  laminar ou turbulenta .

O número crítico de Reynolds  está associado à  transição laminar-turbulenta,  na qual um fluxo laminar se torna turbulento. Esse é um processo extraordinariamente complicado, que atualmente não é totalmente compreendido.

Número crítico de Reynolds para fluxo em um tubo

Para o fluxo em um tubo de diâmetro  D , observações experimentais mostram que, para o fluxo “totalmente desenvolvido”, o número crítico de Reynolds é de  Re _{d, crit}  = 2300.

• Fluxo laminar.  Para fins práticos, se o número de Reynolds for  menor que 2000 , o fluxo será laminar. O número de Reynolds de transição aceito para o fluxo em um tubo circular é  Re _{d, crit}  = 2300.
• Fluxo de transição.  Nos números de Reynolds  entre 2000 e 4000,  o fluxo é instável como resultado do início da turbulência. Esses fluxos às vezes são chamados de fluxos de transição.
• Fluxo turbulento.  Se o número de Reynolds for  maior que 3500 , o fluxo será turbulento.

Observe que, o número crítico de Reynolds é diferente para cada geometria.

Número crítico de Reynolds no fluxo da camada limite sobre uma placa plana.

Ao determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta, é freqüentemente razoável supor que a transição comece em algum local x _crítico , como mostrado na figura. Esta localização é determinada pelo número crítico de Reynolds, Re _{x, crit} . Para o fluxo sobre uma placa plana,

a transição da  camada limite laminar para a turbulenta ocorre quando o número de Reynolds em x excede  Re _{x, crit}  ~ 500.000 . A transição pode ocorrer mais cedo, mas depende principalmente da rugosidade da  superfície . A camada limite turbulenta espessa mais rapidamente do que a camada limite laminar como resultado do aumento da tensão de cisalhamento na superfície do corpo.

O que é o número Péclet

O número Péclet é um número sem dimensão, nomeado em homenagem ao físico francês Jean Claude Eugène Péclet. O número de Péclet  é definido como a razão entre a taxa de advecção de uma quantidade física pelo fluxo e a taxa de difusão (matéria ou calor) da mesma quantidade, impulsionada por um gradiente apropriado. Portanto, devemos distinguir entre o número do peclet para transferência de massa e transferência de calor.

Número de Peclet em Transferência de Massa

Em problemas de transferência de massa, o número de Péclet é o produto do número de Reynolds , que descreve o  regime de fluxo , e o número de Schmidt , usado para caracterizar fluxos de fluidos nos quais há processos simultâneos de convecção de momento e difusão de massa.

Onde:

• u  é a velocidade do fluxo,
• L  é uma  dimensão linear característica (comprimento percorrido do fluido;  diâmetro hidráulico  etc.)
• D é a difusividade da massa [m ² / s]

Número de Peclet em Transferência de Calor

Em problemas de transferência de calor, o número de Péclet é a proporção da energia térmica convectada ao fluido pela energia térmica conduzida dentro do fluido. O  número de Péclet  é simplesmente definido como o produto do número de Reynolds , que descreve o regime de fluxo , e o  número de Prandtl , que descreve a relação entre difusividade de momento e difusividade térmica. Se Pe é pequeno, a condução é importante.

Onde:

• u  é a velocidade do fluxo,
• L  é uma  dimensão linear característica (comprimento percorrido do fluido;  diâmetro hidráulico  etc.)
• α  é  difusividade térmica  [m ² / s]

A difusividade térmica representa a rapidez com que o calor se difunde através de um material e possui unidades m ² / s. Em outras palavras, é a medida da  inércia térmica  de determinado material. Difusividade térmica é geralmente denotada α e é dada por:

Como pode ser visto, ele mede a capacidade de um material de conduzir  energia térmica (representada pelo fator k) em relação à sua capacidade de armazenar energia térmica (representada pelo fator ρ.c _p ). Materiais de α grande responderão rapidamente a mudanças em seu ambiente térmico, enquanto materiais de α pequeno responderão mais lentamente (o calor é absorvido na maior parte), levando mais tempo para alcançar uma nova condição de equilíbrio.

Difusão em massa e lei de Fick

A difusividade é encontrada na lei de Fick, que declara:

Se a concentração de um soluto em uma região for maior que em outra solução, o soluto difunde da região de maior concentração para a região de menor concentração, com uma magnitude proporcional ao gradiente de concentração.

Em uma dimensão (espacial), a lei é:

Onde:

• J é o fluxo de difusão,
• D é o coeficiente de difusão,
• φ (para misturas ideais) é a concentração.

O uso desta lei na teoria de reatores nucleares leva à aproximação de difusão .

O que é o número Rayleigh

O número de Rayleigh é um número sem dimensão, com o nome de Lord Rayleigh. O número de Rayleigh  está intimamente relacionado ao número de Grashof e ambos os números são usados ​​para descrever a convecção natural (Gr) e a transferência de calor por convecção natural (Ra). O  número de Rayleigh  é simplesmente definido como o produto do número de Grashof , que descreve a relação entre flutuabilidade e viscosidade dentro de um fluido, e o número de Prandtl , que descreve a relação entre difusividade de momento e difusividade térmica.

Ra _x = Gr _x . Pr

O  número de Grashof  é definido como a razão entre a força flutuante e a viscosa que atua sobre um fluido na camada limite de velocidade. Seu papel na convecção natural é o mesmo que o  número de Reynolds  na convecção forçada. A convecção natural ocorre se esse movimento e mistura são causados ​​por variações de densidade resultantes de diferenças de temperatura no fluido. Normalmente, a densidade diminui devido a um aumento de temperatura e faz com que o fluido suba. Este movimento é causado pela força flutuante. A força principal que resiste ao movimento é a força viscosa. O número de Grashof é uma maneira de quantificar as forças opostas.

O número de Rayleigh é usado para expressar a transferência de calor em convecção natural. A magnitude do número de Rayleigh é uma boa indicação sobre se a camada limite da convecção natural é laminar ou turbulenta. As correlações empíricas simples para o número médio de Nusselt, Nu, em convecção natural, são da forma:

Nu _x  = C. Ra _x ⁿ

Os valores das constantes C e n dependem da geometria da superfície e do regime de vazão , que é caracterizado pela faixa do número de Rayleigh . O valor de n é geralmente n = 1/4 para fluxo laminar en = 1/3 para fluxo turbulento.

O  número de Rayleigh é definido como:

Onde:

g é aceleração devido à gravidade da Terra

β é o coeficiente de expansão térmica

_Parede T é a temperatura da parede

T _∞ é a temperatura a granel

L é o comprimento vertical

α é  difusividade térmica

ν é a viscosidade cinemática.

Para gases β = 1 / T onde a temperatura está em K. Para líquidos β pode ser calculado se for conhecida a variação da densidade com a temperatura a pressão constante. Para uma placa plana vertical, o fluxo fica turbulento pelo valor de:

Ra _x  = Gr _x  . Pr> 10 ⁹ 

Como na convecção forçada, a natureza microscópica das correlações de fluxo e convecção são distintamente diferentes nas regiões laminar e turbulenta .

Exemplo: Número Rayleigh

Uma placa vertical é mantida a 50 ° C em 20 ° C de ar. Determine a altura em que a camada limite ficará turbulenta se a turbulência se estabelecer em Ra = Gr.Pr = 10 ⁹ .

Solução:

Os valores da propriedade necessários para este exemplo são:

ν = 1,48 x ^10-5 m ² / s

ρ = 1,17 kg / m ³

Pr = 0,700

β = 1 / (273 + 20) = 1/293

Sabemos que a circulação natural se torna turbulenta em aproximadamente Ra = Gr.Pr> 10 ⁹ , que é cumprida na seguinte altura:

O que é o número Grashof

O número Grashof é um número sem dimensão, com o nome de Franz Grashof. O número de Grashof é definido como a razão entre a força flutuante e a viscosa que atua sobre um fluido na camada limite de velocidade. Seu papel na convecção natural é o mesmo que o número de Reynolds na convecção forçada.

Convecção natural é usada se esse movimento e mistura são causados ​​por variações de densidade resultantes de diferenças de temperatura no fluido. Normalmente, a densidade diminui devido a um aumento de temperatura e faz com que o fluido suba. Este movimento é causado pela força flutuante. A força principal que resiste ao movimento é a força viscosa. O número de Grashof é uma maneira de quantificar as forças opostas.

O número de Grashof é definido como:

Onde:

g é aceleração devido à gravidade da Terra

β é o coeficiente de expansão térmica

_Parede T é a temperatura da parede

T _∞ é a temperatura a granel

L é o comprimento vertical

ν é a viscosidade cinemática.

Para gases β = 1 / T onde a temperatura está em K. Para líquidos β pode ser calculado se for conhecida a variação da densidade com a temperatura a pressão constante. Para uma placa plana vertical, o fluxo fica turbulento pelo valor de Gr.Pr> 10 ⁹ . Como na convecção forçada, a natureza microscópica das correlações de fluxo e convecção são distintamente diferentes nas regiões laminar e turbulenta.

O número de Grashof está intimamente relacionado ao número de Rayleigh, que é definido como o produto do número de Grashof, que descreve a relação entre flutuabilidade e viscosidade dentro de um fluido, e o número de Prandtl , que descreve a relação entre difusividade de momento e difusividade térmica.

Exemplo: Número Grashof

Uma placa vertical é mantida a 50 ° C em 20 ° C de ar. Determine a altura em que a camada limite ficará turbulenta se a turbulência se estabelecer em Gr.Pr = 10 ⁹ .

Solução:

Os valores da propriedade necessários para este exemplo são:

ν = 1,48 x ^10-5 m ² / s

ρ = 1,17 kg / m ³

Pr = 0,700

β = 1 / (273 + 20) = 1/293

Sabemos que a circulação natural se torna turbulenta em Gr.Pr> 10 ⁹ , que é cumprida na seguinte altura:

O que é o número Eckert

O número Eckert é um número sem dimensão, nomeado após Ernst RG Eckert. O número de Eckert é definido como a razão da transferência de massa advectiva para o potencial de dissipação de calor.

O número de Eckert fornece uma medida da energia cinética do fluxo em relação à diferença de entalpia através da camada limite térmica. É usado para caracterizar a dissipação de calor em fluxos de alta velocidade, para os quais a dissipação viscosa é significativa.

O número Eckert é definido como:

Onde:

u é a velocidade do fluxo local [m / s]

c _p é a capacidade térmica específica de pressão constante [m ² / Ks ^-2 ]

∆T é a diferença de temperatura entre a parede e as temperaturas locais [K]

O que é o número Sherwood

O número Sherwood é um número sem dimensão, com o nome de Thomas Kilgore Sherwood. O número de Sherwood é definido como a razão da transferência de massa convectiva para a difusividade de massa.

Os números de Nusselt e Sherwood representam a eficácia da convecção de calor e massa na superfície. O número de Sherwood é para a camada limite de concentração o que o número de Nusselt é para a camada limite térmica.

O número Sherwood é definido como:

Onde:

k _m é o coeficiente de transferência de massa por convecção [m / s]

L é um comprimento característico [m]

D é a difusividade da massa [m ² / s]

Por exemplo, o número Sherwood para uma única esfera pode ser expresso como:

Sh = Sh ₀ + C.Re ^m Sc ^1/3

onde Sh ₀ é o número de Sherwood devido apenas à convecção natural e não à convecção forçada.

A difusividade é encontrada na lei de Fick, que declara:

Se a concentração de um soluto em uma região for maior que em outra solução, o soluto difunde da região de maior concentração para a região de menor concentração, com uma magnitude proporcional ao gradiente de concentração.

Em uma dimensão (espacial), a lei é:

Onde:

• J é o fluxo de difusão,
• D é o coeficiente de difusão,
• φ (para misturas ideais) é a concentração.

O uso desta lei na teoria de reatores nucleares leva à aproximação de difusão .

O que é o número de Lewis

O número de Lewis é um número sem dimensão, com o nome de Warren K. Lewis (1882–1975). O número de Lewis é definido como a razão de difusividade térmica e difusividade de massa. É usado para caracterizar fluxos de fluido onde há transferência simultânea de calor e massa. O número de Lewis é, portanto, uma medida das espessuras relativas da camada limite térmica e da concentração. O número de Lewis também pode ser expresso em termos do número de Prandtl e do número de Schmidt como Le = Sc / Pr .

O número de Lewis é definido como:

Onde:

α é difusividade térmica [m ² / s]

D é a difusividade da massa [m ² / s]

Da mesma forma que no número de Schmidt e Prandtl, o número de Lewis relaciona fisicamente a espessura relativa da camada térmica e a camada limite de transferência de massa (concentração).

onde n = 1/3 para a maioria das aplicações nas três relações. Essas relações, em geral, são aplicáveis ​​apenas ao fluxo laminar e não são aplicáveis ​​a camadas limite turbulentas, uma vez que a mistura turbulenta nesse caso pode dominar os processos de difusão.

Um número de unidade de Lewis indica que a camada limite térmica e a transferência de massa por difusão são comparáveis, e as camadas limite de temperatura e concentração quase coincidem uma com a outra. Difusividade de massa ou coeficiente de difusão é uma constante de proporcionalidade entre o fluxo molar devido à difusão molecular e o gradiente na concentração das espécies (ou a força motriz da difusão).

A difusividade é encontrada na lei de Fick, que declara:

Se a concentração de um soluto em uma região for maior que em outra de uma solução, o soluto difunde da região de maior concentração para a região de menor concentração, com uma magnitude proporcional ao gradiente de concentração.

Em uma dimensão (espacial), a lei é:

Onde:

• J é o fluxo de difusão,
• D é o coeficiente de difusão,
• φ (para misturas ideais) é a concentração.

O uso desta lei na teoria de reatores nucleares leva à aproximação de difusão .

O que é o número Schmidt

O número de Schmidt é um número sem dimensão, nomeado em homenagem ao engenheiro alemão Ernst Heinrich Wilhelm Schmidt (1892–1975). O número de Schmidt é definido como a razão de difusividade do momento (viscosidade cinemática) e difusividade da massa , e é usado para caracterizar fluxos de fluidos nos quais existem processos simultâneos de convecção do momento e da difusão da massa. O número de Schmidt descreve a transferência do momento da massa e as equações podem ser vistas abaixo:

Onde:

• ν é a difusividade do momento (viscosidade cinemática) [m ² / s]
• μ é a viscosidade dinâmica [Ns / m ² ]
• D é a difusividade da massa [m ² / s]
• ρ é a densidade [kg / m ³ ]

Relaciona fisicamente a espessura relativa da camada hidrodinâmica e da camada limite de transferência de massa. O número de Schmidt corresponde ao número de Prandtl na transferência de calor. Um número de unidade Schmidt indica que o momento e a transferência de massa por difusão são comparáveis, e as camadas limite de velocidade e concentração quase coincidem uma com a outra. Difusividade de massa ou coeficiente de difusão é uma constante de proporcionalidade entre o fluxo molar devido à difusão molecular e o gradiente na concentração das espécies (ou a força motriz da difusão). A difusão em massa em líquidos cresce com a temperatura, variação inversamente proporcional da viscosidade com a temperatura, de modo que o número de Schmidt, Sc = ν / D, diminui rapidamente com a temperatura. Por exemplo, o coeficiente de difusão do etanol na água é D _{etanol, água} = 1,6 ± ^10 – 9  e fornece o número Schmidt Sc = 540, o que é típico para líquidos.

A difusividade é encontrada na lei de Fick, que declara:

Se a concentração de um soluto em uma região for maior que em outra de uma solução, o soluto difunde da região de maior concentração para a região de menor concentração, com uma magnitude proporcional ao gradiente de concentração.

Em uma dimensão (espacial), a lei é:

Número Prandtl Laminar – Número Prandtl Turbulento

Ao lidar com números de Prandtl , precisamos definir uma parte laminar do número de Prandtl e uma parte turbulenta  do número de Prandtl. A equação Pr = ν / α , na verdade mostra apenas a parte laminar que é válida apenas para fluxos laminares . A equação a seguir mostra o número Prandtl efetivo :

Pr _ef = ν / α + ν _t / α _t

onde v _t é viscosidade turbulenta cinemática e α _t é difusividade térmica turbulenta. O número de Prandtl turbulento (Pr _t = ν _t / α _t ) é um termo sem dimensões definida como a relação entre o impulso de Foucault difusividade e a transferência de calor de Foucault difusividade. Simplesmente descreve a mistura devido ao turbilhão / rotação de fluidos. O modelo mais simples para Pr _t é a analogia de Reynolds , a qual produz um número de Prandtl turbulento de um.

No caso especial em que o número de Prandtl e o número turbulento de Prandtl são ambos iguais (como na analogia de Reynolds), o perfil de velocidade e os perfis de temperatura são idênticos. Isso simplifica bastante a solução do problema de transferência de calor. A partir de dados experimentais, o número turbulento de Prandtl é de cerca de 0,7 para diferentes camadas de cisalhamento livre, e para fluxos próximos à parede é maior (Pr _t = 0,9) e ocasionalmente além de 1, pois tem uma tendência a aumentar quando se aproxima das paredes.

Número Prandtl de metais líquidos

Para metais líquidos, o número de Prandtl é muito pequeno, geralmente na faixa de 0,01 a 0,001. Isso significa que a difusividade térmica , que está relacionada à taxa de transferência de calor por condução , domina sem ambiguidade . Essa difusividade térmica muito alta resulta da condutividade térmica muito alta dos metais, que é cerca de 100 vezes maior que a da água. O número de Prandtl para sódio a uma temperatura de operação típica nos reatores rápidos resfriados a sódio é de cerca de 0,004.

O número de Prandtl entra em muitos cálculos de transferência de calor em reatores de metal líquido. Dois dos projetos promissores dos reatores da geração IV usam um metal líquido como refrigerante do reator. O desenvolvimento de reatores da geração IV representa um desafio do ponto de vista da engenharia.

• Reator rápido resfriado a sódio
• Reator rápido resfriado a chumbo

Um dos principais desafios da simulação numérica é a modelagem confiável de transferência de calor em reatores refrigerados a metal líquido pelo Computational Fluid Dynamics (CFD). As aplicações de transferência de calor com fluidos com baixo número de Prandtl estão frequentemente na faixa de transição entre regimes dominados por condução e convecção.

Número Prandtl

O número Prandtl é um número sem dimensão, nomeado em homenagem ao seu inventor, um engenheiro alemão Ludwig Prandtl , que também identificou a camada limite . O número de Prandtl é definida como a razão de difusividade impulso a difusividade térmica . A difusividade do momento , ou como é normalmente chamada, viscosidade cinemática, indica a resistência do material aos fluxos de cisalhamento (diferentes camadas do fluxo viajam com velocidades diferentes devido, por exemplo, a diferentes velocidades das paredes adjacentes) em relação à densidade. Ou seja, o número Prandtl é dado como:

Onde:

ν é difusividade do momento (viscosidade cinemática) [m ² / s]

α é difusividade térmica [m ² / s]

μ é viscosidade dinâmica [Ns / m ² ]

k é condutividade térmica [W / mK]

c _p é calor específico [J / kg.K]

ρ é densidade [kg / m ³ ]

Pequenos valores do número de Prandtl , Pr << 1 , significam que a difusividade térmica domina. Enquanto que com valores grandes, Pr >> 1 , a difusividade do momento domina o comportamento. Por exemplo, o valor típico de mercúrio líquido, que é de cerca de 0,025, indica que a condução de calor é mais significativa em comparação com a convecção , portanto a difusividade térmica é dominante. Quando Pr é pequeno, significa que o calor se difunde rapidamente em comparação com a velocidade.

Em comparação com o número de Reynolds , o número de Prandtl não depende da geometria de um objeto envolvido no problema, mas depende apenas do estado do fluido e do fluido. Como tal, o número de Prandtl é freqüentemente encontrado em tabelas de propriedades, ao lado de outras propriedades, como viscosidade e condutividade térmica.