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Solução das equações de Navier-Stokes

Embora as equações de Navier-Stokes possuam apenas um número limitado de soluções analíticas conhecidas, elas são passíveis de modelagem computacional em grade. A principal ferramenta disponível para sua análise é a análise CFD . O CFD é um ramo da mecânica de fluidos que utiliza análise e algoritmos numéricos para resolver e analisar problemas que envolvem fluxos de fluidos turbulentos. É amplamente aceito que as equações de Navier-Stokes (ou equações simplificadas de Navier-Stokes com média de Reynolds ) são capazes de exibir soluções turbulentas, e essas equações são a base de praticamente todos os códigos CFD. Agora é possível obter resultados CFD aproximados, mas realistas, para uma ampla variedade de fluxos viscosos bidimensionais e tridimensionais complexos.

As equações de Navier-Stokes também são de grande interesse em um sentido puramente matemático. Infelizmente, o caráter altamente intermitente e irregular do fluxo turbulento complica todas as análises . Ainda não foi provado que em três dimensões sempre existem soluções ou que, se existem, são suaves. De fato, costuma-se dizer que a solução geral das equações de Navier-Stokes com turbulências é o “último problema não resolvido da física matemática clássica”.

Equações de Navier-Stokes

Na dinâmica de fluidos , as equações de Navier-Stokes são equações que descrevem o movimento tridimensional de substâncias fluidas viscosas . Essas equações têm o nome de Claude-Louis Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903). Em situações em que não há fortes gradientes de temperatura no fluido, essas equações fornecem uma aproximação muito boa da realidade .

As equações de Navier-Stokes consistem em uma equação de continuidade dependente do tempo para conservação de massa , três equações de conservação de momento dependentes de tempo e uma equação de conservação de energia dependente de tempo . Existem quatro variáveis ​​independentes no problema, as coordenadas espaciais x, ye z de algum domínio, e o tempo t.

Como pode ser visto, as equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não lineares de segunda ordem; suas soluções foram encontradas em uma variedade de problemas interessantes de fluxo viscoso. Eles podem ser usados ​​para modelar o clima, as correntes oceânicas, o fluxo de ar em torno de um aerofólio e o fluxo de água em um tubo ou em um reator. As equações de Navier-Stokes, em suas formas completas e simplificadas, ajudam no design de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no design de reatores nucleares e em muitas outras coisas.

Solução das equações de Navier-Stokes

Embora as equações de Navier-Stokes possuam apenas um número limitado de soluções analíticas conhecidas, elas são passíveis de modelagem computacional em grade. A principal ferramenta disponível para sua análise é a análise CFD . O CFD é um ramo da mecânica de fluidos que utiliza análise e algoritmos numéricos para resolver e analisar problemas que envolvem fluxos de fluidos turbulentos. É amplamente aceito que as equações de Navier-Stokes (ou equações simplificadas de Navier-Stokes com média de Reynolds ) são capazes de exibir soluções turbulentas, e essas equações são a base de praticamente todos os códigos CFD. Agora é possível obter resultados CFD aproximados, mas realistas, para uma ampla variedade de fluxos viscosos bidimensionais e tridimensionais complexos.

As equações de Navier-Stokes também são de grande interesse em um sentido puramente matemático. Infelizmente, o caráter altamente intermitente e irregular do fluxo turbulento complica todas as análises . Ainda não foi provado que em três dimensões sempre existem soluções ou que, se existem, são suaves. De fato, costuma-se dizer que a solução geral das equações de Navier-Stokes com turbulências é o “último problema não resolvido da física matemática clássica”.

Espessura crítica do isolamento – raio crítico

Em uma parede plana, a área perpendicular à direção do fluxo de calor, adicionando mais isolamento a uma parede sempre diminui a transferência de calor. Quanto mais espessa a isolação , menor a taxa de transferência de calor . Isso se deve ao fato de a superfície externa ter sempre a mesma área .

Mas nas coordenadas cilíndricas e esféricas, a adição de isolamento também aumenta a superfície externa , o que diminui a resistência de convecção na superfície externa. Além disso, em alguns casos, uma diminuição na resistência à convecção devido ao aumento na área da superfície pode ser mais importante do que um aumento na resistência à condução devido ao isolamento mais espesso. Como resultado, a resistência total pode realmente diminuir, resultando em aumento do fluxo de calor.

A espessura até a qual o fluxo de calor aumenta e após o qual o fluxo de calor diminui é denominada espessura crítica . No caso de cilindros e esferas, é chamado raio crítico . Pode-se derivar que o raio crítico do isolamento depende da condutividade térmica do isolamento k e do coeficiente de transferência de calor por convecção externa h.

Como pode ser visto, se r ₁ <r _cr , como neste caso, a resistência total diminui e a taxa de calor aumenta com a adição de isolamento. Essa tendência continua até que o raio externo do isolamento corresponda ao raio crítico, onde a taxa de calor atinge o máximo. Essa tendência é desejável para o resfriamento de um fio elétrico, uma vez que a adição de isolamento elétrico ajudaria na transferência de calor dissipado no fio para os arredores. Por outro lado, qualquer adição adicional de material (além de r _cr ) aumentaria a resistência total e, portanto, diminuiria a perda de calor. Esse comportamento seria desejável para o isolamento de tubos, onde o isolamento é adicionado para reduzir a perda de calor no ambiente.

Exemplo – Espessura crítica do isolamento

Suponha um tubo de aço de r ₁ = 10 mm, exposto a convecção natural a h = 50 W / m ² .K. Este tubo é isolado por material de condutividade térmica k = 0,5 W / mK Determine a espessura crítica desta combinação:

Portanto, r _cr > r ₁ e a transferência de calor aumentam com a adição de isolamento até uma espessura de r _cr – r ₁ = (0,010 – 0,005) m = 0,005 m

Espessura crítica do isolamento – coordenadas esféricas

Pode ser demonstrado de maneira semelhante que o raio crítico de isolamento para uma carcaça esférica é:

Distribuição de temperatura no revestimento de combustível

O revestimento é a camada externa das barras de combustível, situada entre o líquido de arrefecimento do reator e o combustível nuclear (isto é, granulados de combustível ). É feito de um material resistente à corrosão com seção transversal de baixa absorção para nêutrons térmicos, geralmente liga de zircônio . O revestimento evita que os produtos de fissão radioativa escapem da matriz de combustível para o líquido de arrefecimento do reator e os contaminem. O revestimento constitui uma das barreiras na abordagem de ‘ defesa em profundidade ‘.

Considere o revestimento de combustível do raio interno r _{Zr, 2} = 0,408 cm e raio externo r _{Zr, 1} = 0,465 cm . Em comparação com o pellet de combustível, quase não há geração de calor no revestimento do combustível (o revestimento é levemente aquecido pela radiação ). Todo o calor gerado no combustível deve ser transferido por condução através do revestimento e, portanto, a superfície interna é mais quente que a superfície externa.

Para encontrar a distribuição de temperatura através do revestimento, precisamos resolver a equação de condução de calor . Devido à simetria na direção z e na direção azimutal, podemos separar as variáveis ​​e simplificar esse problema para um problema unidimensional. Assim, resolveremos apenas a temperatura em função do raio T (r). Neste exemplo, assumiremos que não existe estritamente geração de calor no revestimento. Para condutividade térmica constante, k, a forma apropriada da equação de calor cilíndrica é:

A solução geral desta equação é:

onde C ₁ e C ₂ são as constantes de integração.

1)

Calcule a distribuição de temperatura, T (r), neste revestimento de combustível, se:

• a temperatura na superfície interna do revestimento é T _{Zr, 2} = 360 ° C
• a temperatura do líquido de arrefecimento do reator nesta coordenada axial é T a _granel = 300 ° C
• o coeficiente de transferência de calor (convecção; fluxo turbulento) é h = 41 kW / m ² .K.
• a condutividade média do material é k = 18 W / mK
• a taxa linear de calor do combustível é q _L = 300 W / cm e, portanto, a taxa volumétrica de calor é q _V = 597 x 10 ⁶ W / m ³

A partir da relação básica para transferência de calor por convecção, podemos calcular a superfície externa do revestimento como:

Como pode ser visto, também neste caso, fornecemos temperaturas de superfície T _{Zr, 1} e T _{Zr, 2} . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet. As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

Resolvendo C ₁ e C ₂ e substituindo na solução geral, obtemos então:

∆T – superfície de revestimento – refrigerante

O conhecimento detalhado da geometria, raio externo do revestimento, taxa de calor linear, coeficiente de transferência de calor por convecção e temperatura do líquido de refrigeração determina ∆T entre o líquido de arrefecimento (T a _granel ) e a superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ). Portanto, podemos calcular a temperatura da superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ) simplesmente usando a Lei de Newton :

∆T no revestimento do combustível

O conhecimento detalhado da geometria, raio externo e interno do revestimento, taxa de calor linear e temperatura da superfície do revestimento (T _{Zr, 1} ) determina ∆T entre as superfícies externa e interna do revestimento. Portanto, podemos calcular a temperatura da superfície interna do revestimento (T _{Zr, 2} ) simplesmente usando a Lei de Fourier :

Condução de calor em uma grande parede plana

Condução de calor em uma grande parede plana

Considere a parede plana de espessura 2L, na qual há geração uniforme e constante de calor por unidade de volume, q _V [W / m ³ ] . O plano central é tomado como a origem de x e a laje se estende a + L à direita e – L à esquerda. Para condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor é:

A solução geral desta equação é:

onde C ₁ e C ₂ são as constantes de integração.

1)

Calcule a distribuição de temperatura, T (x), através dessa parede plana e espessa, se:

• as temperaturas em ambas as superfícies são 15,0 ° C
• a espessura desta parede é 2L = 10 mm.
• a condutividade dos materiais é k = 2,8 W / mK (corresponde ao dióxido de urânio a 1000 ° C)
• a taxa de calor volumétrico é q _V = 10 ⁶ W / m ³

Nesse caso, as superfícies são mantidas em determinadas temperaturas T _{s, 1} e T _{s, 2} . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet . Além disso, esse problema é termicamente simétrico e, portanto, também podemos usar a condição de contorno de simetria térmica . As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

A distribuição de temperatura resultante e a temperatura da linha central (x = 0) (máxima) nesta parede plana nessas condições de contorno específicas serão:

O fluxo de calor em qualquer ponto, q _x [Wm ^-2 ], na parede pode, é claro, ser determinado usando a distribuição de temperatura e com a lei de Fourier . Observe que, com a geração de calor, o fluxo de calor não é mais independente de x, portanto:

Exemplo de equação de calor – Problema com solução

Condução de calor em uma barra de combustível

Condução de calor em uma barra de combustível

A maioria dos PWRs usa o combustível de urânio , que está na forma de dióxido de urânio . O dióxido de urânio é um sólido semicondutor preto com condutividade térmica muito baixa. Por outro lado, o dióxido de urânio tem um ponto de fusão muito alto e um comportamento bem conhecido. A UO ₂ é prensada em pastilhas cilíndricas , essas pastilhas são então sinterizadas no sólido.

Esses pellets cilíndricos são então carregados e encapsulados dentro de uma barra de combustível (ou pino de combustível), feita de ligas de zircônio devido à sua seção transversal de absorção muito baixa (ao contrário do aço inoxidável). A superfície do tubo, que cobre os pellets, é chamada de revestimento de combustível .

Veja também:  Condução térmica de dióxido de urânio

O comportamento térmico e mecânico dos pellets  e barras de combustível constitui uma das três principais disciplinas do projeto. O combustível nuclear é operado sob condições muito inóspitas (térmica, radiação, mecânica) e deve suportar mais do que as condições normais de operação. Por exemplo, as temperaturas no centro dos pellets de combustível atingem mais de 1000 ° C (1832 ° F) acompanhadas por liberações de gás de fissão. Portanto, o conhecimento detalhado da distribuição de temperatura em uma única barra de combustível é essencial para a operação segura do combustível nuclear. Nesta seção, estudaremos a equação de condução de calor em coordenadas cilíndricasusando a condição limite de Dirichlet com determinada temperatura da superfície (ou seja, usando a condição limite de Dirichlet). A análise abrangente do perfil de temperatura da barra de combustível será estudada em seção separada.

Temperatura na linha central de um pellet de combustível

Considere o pellet de combustível de raio r _U = 0,40 cm , no qual há geração uniforme e constante de calor por unidade de volume, q _V [W / m ³ ] . Em vez da taxa de calor volumétrica q _V [W / m ³ ], os engenheiros costumam usar a taxa de calor linear, q _L [W / m] , que representa a taxa de calor de um metro da barra de combustível. A taxa linear de calor pode ser calculada a partir da taxa volumétrica de calor por:

A linha central é tomada como a origem da coordenada r. Devido à simetria na direção z e na direção azimutal, podemos separar as variáveis ​​e simplificar esse problema para um problema unidimensional . Assim, resolveremos a temperatura apenas em função do raio T (r) . Para condutividade térmica constante , k, a forma apropriada da equação de calor cilíndrica é:

A solução geral desta equação é:

onde C ₁ e C ₂ são as constantes de integração.

Calcule a distribuição de temperatura, T (r) , neste sedimento de combustível, se:

• as temperaturas na superfície do sedimento de combustível são T _U = 420 ° C
• raio da pastilha de combustível r _U = 4 mm .
• a condutividade média do material é k = 2,8 W / mK (corresponde ao dióxido de urânio a 1000 ° C)
• a taxa de calor linear é q _L = 300 W / cm e, portanto, a taxa de calor volumétrica é q _V = 597 x 10 ⁶ W / m ³

Neste caso, a superfície é mantida a temperaturas dadas T _U . Isso corresponde à condição de limite de Dirichlet . Além disso, esse problema é termicamente simétrico e, portanto, também podemos usar a condição de contorno de simetria térmica . As constantes podem ser avaliadas usando a substituição na solução geral e têm a forma:

A distribuição de temperatura resultante e a temperatura da linha central (r = 0) (máxima) neste sedimento cilíndrico de combustível nessas condições de contorno específicas serão:

O fluxo de calor radial em qualquer raio, q _r [Wm ^-1 ], no cilindro pode, é claro, ser determinado usando a distribuição de temperatura e com a lei de Fourier . Observe que, com a geração de calor, o fluxo de calor não é mais independente de r.

A figura a seguir mostra a distribuição de temperatura no pellet de combustível em vários níveis de potência.

______

A temperatura em um reator operacional varia de ponto a ponto dentro do sistema. Como consequência, há sempre uma vara de combustível e um volume local , que está mais quente  do que todo o resto. Para limitar esses locais quentes, os limites de potência máxima devem ser introduzidos. Os limites de potência máxima estão associados a uma crise de ebulição e às condições que podem causar o derretimento do pellet de combustível. No entanto, considerações metalúrgicas impõem limites superiores à temperatura do revestimento do combustível e do sedimento de combustível. Acima dessas temperaturasexiste o perigo de o combustível ser danificado. Um dos principais objetivos no projeto de reatores nucleares é fornecer a remoção do calor produzido no nível de potência desejado, garantindo que a temperatura máxima do combustível e a temperatura máxima do revestimento estejam sempre abaixo desses valores predeterminados.

Condução com geração de calor

Condução com geração de calor

Na seção anterior, consideramos problemas de condução térmica sem fontes internas de calor . Para esses problemas, a distribuição de temperatura em um meio foi determinada apenas por condições nos limites do meio. Porém, na engenharia, muitas vezes podemos encontrar um problema, no qual as fontes internas de calor são significativas e determinam a distribuição de temperatura juntamente com as condições de contorno.

Na engenharia nuclear , esses problemas são da maior importância, uma vez que a maior parte do calor gerado no combustível nuclear é liberada dentro dos pellets de combustível e a distribuição da temperatura é determinada principalmente pela distribuição da geração de calor. Observe que, como pode ser visto na descrição dos componentes individuais da energia total liberada durante a reação de fissão, há uma quantidade significativa de energia gerada fora do combustível nuclear (barras de combustível externas). Especialmente a energia cinética dos nêutrons imediatos é amplamente gerada no refrigerante ( moderador ) . Esse fenômeno precisa ser incluído nos cálculos nucleares.

Para LWR , é geralmente aceito que cerca de 2,5% da energia total é recuperada no moderador . Essa fração de energia depende dos materiais, sua disposição dentro do reator e, portanto, do tipo de reator.

Observe que a geração de calor é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ocorre em todo o corpo de um meio. Portanto, a taxa de geração de calor em um meio é geralmente especificada por unidade de volume e é denotada por g _V [W / m ³ ] .

A distribuição da temperatura e, consequentemente, o fluxo de calor são determinados principalmente por:

• Geometria e condições de contorno . Geometria diferente leva a um campo de temperatura completamente diferente.
• Taxa de geração de calor . A queda de temperatura através do corpo aumentará com o aumento da geração de calor.
• Condutividade térmica do meio . Maior condutividade térmica levará a uma queda de temperatura mais baixa.

Equação de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas

Na engenharia, há muitos problemas que não podem ser resolvidos em coordenadas cartesianas. Os sistemas cilíndricos e esféricos são muito comuns em engenharia térmica e especialmente em energia. A equação do calor também pode ser expressa em coordenadas cilíndricas e esféricas. A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida a partir de um balanço de energia em um elemento de volume em coordenadas cilíndricas e usando o operador Laplace, Δ, na forma cilíndrica e esférica .

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

A obtenção de soluções analíticas para essas equações diferenciais requer um conhecimento das técnicas de solução de equações diferenciais parciais, que estão além do escopo deste texto. Por outro lado, existem muitas simplificações e suposições que podem ser aplicadas a essas equações e que levam a resultados muito importantes. Na próxima seção, limitamos nossa consideração a casos unidimensionais de estado estacionário com condutividade térmica constante, uma vez que resultam em equações diferenciais ordinárias.

Limite adiabático – simetria térmica

Limite adiabático – simetria térmica

Caso especial – limite adiabático – limite perfeitamente isolado

Um caso especial dessa condição corresponde à superfície perfeitamente isolada para a qual (∂T / ∂x = 0). A transferência de calor através de uma superfície adequadamente isolada pode ser considerada zero, uma vez que o isolamento adequado reduz a transferência de calor através de uma superfície para níveis desprezíveis. Matematicamente, essa condição de contorno pode ser expressa como:

Caso Especial – Simetria Térmica

Outro caso muito importante, que pode ser usado para resolver problemas de transferência de calor envolvendo barras de combustível, é a simetria térmica. Por exemplo, as duas superfícies de uma grande placa quente de espessura L suspensa verticalmente no ar serão submetidas às mesmas condições térmicas e, portanto, a distribuição de temperatura será simétrica (ou seja, metade da placa terá o mesmo perfil de temperatura que isso na outra metade). Como resultado, deve haver um máximo na linha central da placa e a linha central pode ser vista como uma superfície isolada (∂T / ∂x = 0). A condição térmica neste plano de simetria pode ser expressa como:

Veja também: Condição de fronteira Neumann

Condição de Fronteira da Interface

Em problemas de transferência de calor, a condição de limite da interface pode ser usada quando o material é composto de camadas de materiais diferentes. A solução de um problema de transferência de calor nesse meio exige a solução do problema de transferência de calor em cada camada e é necessário especificar uma condição de interface em cada interface. As condições de limite da interface em uma interface são baseadas nos dois requisitos a seguir:

• dois corpos em contato devem ter a mesma temperatura na área de contato (ou seja, um contato ideal sem resistência de contato)
• uma interface não pode armazenar energia e, portanto, a condução de calor na superfície do primeiro material é igual à condução de calor na superfície do segundo material

Vale ressaltar que, quando os componentes são aparafusados ​​ou de outra forma pressionados, também é necessário um conhecimento do desempenho térmico de tais juntas. Nestes sistemas compostos, a queda de temperatura na interface entre os materiais pode ser apreciável. Essa queda de temperatura é caracterizada pelo coeficiente de condutância de contato térmico , h _c , que é uma propriedade que indica a condutividade térmica ou a capacidade de conduzir calor entre dois corpos em contato.

A condição de contorno da interface pode ser matematicamente expressa da maneira mostrada na figura.

Equação geral de condução de calor

A equação de condução de calor é uma equação diferencial parcial que descreve a distribuição de calor (ou o campo de temperatura ) em um determinado corpo ao longo do tempo. O conhecimento detalhado do campo de temperatura é muito importante na condução térmica através de materiais. Uma vez que essa distribuição de temperatura é conhecida, o fluxo de calor de condução em qualquer ponto do material ou em sua superfície pode ser calculado pela lei de Fourier .

A equação do calor é derivada da lei de Fourier e da conservação de energia . A lei de Fourier afirma que a taxa de tempo de transferência de calor através de um material é proporcional ao gradiente negativo na temperatura e à área, perpendicularmente àquele gradiente, através do qual o calor flui.

Uma mudança na energia interna por unidade de volume no material, ΔQ, é proporcional à mudança na temperatura, Δu. Isso é:

∆Q = ρ.c _p .∆T

Forma geral

Usando essas duas equações, podemos derivar a equação geral de condução de calor:

Essa equação também é conhecida como equação de Fourier-Biot e fornece a ferramenta básica para análise de condução de calor. A partir de sua solução, podemos obter o campo de temperatura em função do tempo.

Em palavras, a equação de condução de calor afirma que:

Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência de energia por condução em um volume unitário mais a taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual à taxa de variação da energia térmica armazenada dentro do volume.